已知定义在R上的奇函数y=f(x)满足y=f(x+π2)为偶函数,对于函数y=f(x)有下列几种描述:①y=f(x)是周期函数;②y=f(x+π2)的图象可以由
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已知定义在R上的奇函数y=f(x)满足y=f(x+π2)为偶函数,对于函数y=f(x)有下列几种描述:①y=f(x)是周期函数;②y=f(x+π2)的图象可以由
题型:填空题
难度:简单
来源:不详
已知定义在R上的奇函数y=f(x)满足
y=f(x+
π
2
)
为偶函数,对于函数y=f(x)有下列几种描述:
①y=f(x)是周期函数;
②
y=f(x+
π
2
)
的图象可以由y=f(x)的图象向右平移
π
2
得到;
③(-π,0)是y=f(x)的图象的一个对称中心;
④当
x=
π
2
时,y=f(x)一定取最大值.
其中描述正确的是 ______.
答案
∵f(x)是R上的奇函数
∴f(-x)=-f(x)(1)
∵y=f(x+
π
2
)为偶函数,函数的图象关于y轴对称
∴函数y=f(x)关于x=
π
2
对称即f(x)=f(π-x)(2)
由(1)(2)可得f(2π+x)=f(x)故①正确
②y=f(x)
向左平移
π
2
y=f(x+
π
2
)
,故②错误
③由函数为奇函数可得f(-π)=-f(π)(1);由周期函数可得f(x)=f(x+2π)(2)由(1)(2)可得f(-π)=-f(π)=f(π)=0,从而可知③正确
④x=
π
2
是函数的对称轴,取函数的最值,但不一定是最大值,故④错误
故答案为:①③
举一反三
定义在实数集R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上是单调递增函数.
(1)试判断并证明f(x)在(-∞,0)上的单调性;
(2)若f(1)<f(lgx),求x的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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下列函数中既是奇函数,又在区间(-1,1)上是增函数的为( )
A.y=|x|
B.y=sinx
C.y=e
x
+e
-x
D.y=-x
3
题型:单选题
难度:简单
|
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对于任意实数a,关于x的方程log
2
[2x
2
+(m+3)x+2m]=a总有实数解,则实数m的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=lg(2+x),g(x)=lg(2-x),设h(x)=f(x)+g(x)
(1)求函数h(x)的定义域.
(2)判断函数h(x)的奇偶性,并说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知f(x)=
log
(
4
x
+1)4
+kx是偶函数,其中x∈R,且k为常数.
(1)求k的值;
(2)记g(x)=4
f(x)
求x∈[0,2]时,函数个g(x)的最大值.
题型:解答题
难度:一般
|
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