已知偶函数y=f(x)满足:当x≥2时,f(x)=(x-2)(a-x),a∈R,当x∈[0,2)时,f(x)=x(2-x)(1)求当x≤-2时,f(x)的表达式
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知偶函数y=f(x)满足:当x≥2时,f(x)=(x-2)(a-x),a∈R,当x∈[0,2)时,f(x)=x(2-x) (1)求当x≤-2时,f(x)的表达式; (2)试讨论:当实数a、m满足什么条件时,函数g(x)=f(x)-m有4个零点,且这4个零点从小到大依次构成等差数列. |
答案
(1)设x≤-2则-x≥2,∴f(-x)=(-x-2)(a+x), 又∵y=f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x), 所以 f(x)=(-x-2)(a+x)…(3分) (2)设f(x)-m的零点从左到右依次为x1,x2,x3,x4,即y=f(x)与y=m交点有4个, (Ⅰ)a≤2时,,解得x1=-,x2=-,x3=,x4=, 所以a≤2时,m=f()= …(5分) (Ⅱ)2<a<4且m=时,可得(-1)2<,解得-+2<a<+2, 所以当2<a<+2时,m=…(7分) (Ⅲ)当a=4时m=1时,符合题意…(8分) (IV)a>4时,m>1, | x3+x4=2+a | 2x3=x2+x4 | x2+x3=0 |
| | ,可解得x4=, 此时1<m<(-1)2,所以 a>,或a<(舍去) 故a>4且a>时,m=-时存在 …(10分) 综上:①a<+2时,m=; ②a=4时,m=1 ③a>时,m=-符合题意 …(12分) |
举一反三
如果f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)+g(x)=-x2+2x-3,那么函数f(x)-g(x)=( )A.x2+2x+3 | B.x2-2x+3 | C.-x2+2x-3 | D.-x2-2x-3 |
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函数y=f(x)在区间(0,2)上是增函数,函数y=f (x+2)是偶函数,则结论正确( )A.f (1)<f ()<f () | B.f ()<f ()<f (1) | C.f()<f(1)<f() | D.f()<f(1)<f() |
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若f(x)=(m-2)x2+(m+1)x+3是偶函数,则m=______. |
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