(1)∵f(0)=0,∴P(0,2)不在曲线y=f(x)上, 设切点为Q(x0,y0),∵f′(x)=2-x, ∴k=f′(x0)=2-x0,且y0=f(x0)=2x0-, ∴切线方程为y-2x0+=(2-x0)(x-x0),即y=(2-x0)x+, ……3分 ∵(0,2)在切线上,代入可得x0=±2,……………………………5分 ∴切线方程为y=2或y=4x+2. …………………………………7分 (2)h(x)=2x-x2-logax在(0,+∞)上递减, ∴h′(x)=2-x-≤0在(0,+∞)上恒成立, ∵x>0,∴≥2x-x2在(0,+∞)上恒成立. 又2x-x2∈(-∞,1],∴≥1,∴0<lna≤1,①…………………10分 又∵h′(x)=2-x-存在零点, 即方程lna·x2-2lna·x+1=0有正根, ∴Δ=4ln2a-4lna≥0,∴lna≥1或lna<0,②…………………12分 由①②知lna=1,∴a=e. |