已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0),f(2)=0,且方程f(x)=x有等根.(Ⅰ)求f(x)的解析式(Ⅱ)是否存在常数m,n(m<n)
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0),f(2)=0,且方程f(x)=x有等根. (Ⅰ)求f(x)的解析式 (Ⅱ)是否存在常数m,n(m<n),使f(x)的定义域和值域分别是[m,n]和[2m,2n]?如存在,求出m,n的值;如不存在,说明理由. |
答案
(Ⅰ)由题设,方程f (x)=x有等根,即ax2+(b-1)x=0有等根, ∴△=0⇒b=1.(2分) 又f (2)=0, ∴4a+2b=0,∴a=-.(4分) 故f (x)=-x2+x.(5分) (Ⅱ)∵f (x)=-x2+x=-(x-1)2+≤, ∴2n≤,即 n≤.(8分) 而当n≤时,f (x)在[m,n]上为增函数, 设满足条件的m,n存在,则即, 又m<n≤,由上可解得 m=-4,n=0. 即符合条件的m,n存在,其值为m=-4,n=0.(13分) |
举一反三
函数f(x)=x2+(lga+2)x+lgb满足f(-1)=-2,且对一切实数x都有f(x)≥2x,求实数a,b的值. |
若二次函数f (x)=ax2+bx+c(a≠0)的部分对应值如下所示:
x | -2 | 1 | 3 | f (x) | 0 | -6 | 0 | 已知二次函数f(x)满足f(0)=3,f(1)=f(-3)=0,则函数f(x)=______. | 若函数y=ln(x2+2x+m2)的值域是R,则实数m的取值范围是______. | 设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)成立,则函数值f(-1),f(1),f(2),f(5)中,最小的一个不可能是( )A.f(-1) | B.f(1) | C.f(2) | D.f(5) |
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