已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,设x1,x2∈R且x1<x2,f(x1)≠f(x2).求证:方程f(x)=12[f(x1)+f(x2)]有两个不相等的实

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,设x1,x2∈R且x1<x2,f(x1)≠f(x2).求证:方程f(x)=12[f(x1)+f(x2)]有两个不相等的实

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,设x1,x2∈R且x1<x2,f(x1)≠f(x2).求证:方程f(x)=
1
2
[f(x1)+f(x2)]
有两个不相等的实数根,且必有一个属于(x1,x2).
答案
证明:令g(x)=f(x)-
1
2
[f(x1)+f(x2)]=ax2+bx+c-
1
2
[f(x1)+f(x2),
因为△=b2-4a[c-
f(x1)+f(x2)
2
]
=b2-4ac+2a[f(x1)+f(x2)]=b2-4ac+2a[ax12+bx1+c+ax22+bx2+c]=[b+a(x1+x2)]2+a2(x1-x2)2
又x1<x2,所以△>0,
所以g(x)=0有两个不等实根,即方程f(x)=
1
2
[f(x1)+f(x2)]
有两个不相等的实数根;
而g(x1)=f(x1)-
1
2
[f(x1)+f(x2)]=-
f(x2)-f(x1)
2
,g(x2)=f(x2)-
1
2
[f(x1)+f(x2)]=
f(x2)-f(x1)
2

∴g(x1)•g(x2)=-
1
4
[f(x2)-f(x1)]2<0.
再由g(x)的图象是连续的,可得g(x)在区间(x1,x2) 内必有零点,即 f(x)-
f(x1)+f(x2)
2
=0在区间(x1,x2) 内必有实数根.
综上可得,方程f(x)=
1
2
[f(x1)+f(x2)]
有两个不相等的实数根,且必有一个属于(x1,x2).
举一反三
方程cos2x-2cosx-a=0在x∈R上有解,则a的取值范围是______.
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已知函数f(x)=x2+ax+6.
(1)当a=5时,解不等式f(x)<0;
(2)若不等式f(x)>0的解集为R,求实数a的取值范围.
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已知函数f(x)=x2-4|x|+1,若f(x)在区间[a,2a+1]上的最大值为1,则a的取值范围为______.
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函数y=2x-x2+m(-1≤x≤2)的值域是[-3,1],则m=______.
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若函数f(x)=ax2+4x-3在[0,2]上有最大值f(2),则a的取值范围是______.
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