已知f(x)=xlnx,g(x)=12x2-x+a(1)当a=2时,求函数y=g(x)在[0,3]上的值域(2)求函数f(x)在[t,t+2]上的最小值.

已知f(x)=xlnx,g(x)=12x2-x+a(1)当a=2时,求函数y=g(x)在[0,3]上的值域(2)求函数f(x)在[t,t+2]上的最小值.

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)=xlnx,g(x)=
1
2
x2-x+a

(1)当a=2时,求函数y=g(x)在[0,3]上的值域
(2)求函数f(x)在[t,t+2]上的最小值.
答案
(1)∵已知f(x)=xlnx,g(x)=
1
2
x2-x+a
,a=2
∴g(x)=
1
2
x2-x+2
,可得g′(x)=x-1,
若x>1,g′(x)>0,g(x)为增函数;
若x<1,g′(x)<0,g(x)为减函数;
f(x)在x=1处取得极小值,也是最小值,f(x)min=f(1)=
1
2
-1+2
=
3
2

f(0)=2,f(3)=
9
2
-3+2=
7
2

∴函数y=g(x)在[0,3]上的值域为[
3
2
7
2
];
(2)∵f′(x)=1+lnx(x>0),令f′(x)=0,可得x=
1
e

若x>
1
e
时,f′(x)>0,f(x)为增函数;
若0<x
1
e
时,f′(x)<0,f(x)为减函数;t>0
若0<t≤
1
e
时,因为区间长度为2,可以取到极小值点x=
1
e
,也是最小值点,
∴f(x)min=f(
1
e
)=
1
e
ln
1
e
=-
1
e

若t>
1
e
时,f(x)在[t,t+2]上为增函数,
∴f(x)min=f(t)=tlnt;
∴综上:若0<t≤
1
e
,f(x)min=
1
e

若t>
1
e
时,f(x)min=tlnt;
举一反三
函数f(x)=


ax2+(2a-1)x+
1
4
的值域为[0,+∞),则实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知f(x)=(x-2)2,x∈[-1,3],求函数f(x+1)得单调递减区间.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若不等式x2+2x-6≥a对于一切实数x均成立,则实数a的最大值是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
要使不等式mx2+mx+2>0对于一切实数x均成立,则m的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
若函数f(x)=





(2b-1)x+b-1,(x>0)
-x2+(2-b)x,(x≤0)
在(-∞,+∞)上为增函数,实数b的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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