设函数，方程x=f(x)有唯一解，其中实数a为常数，，f(xn)=xn+1(n∈N*)。 (1)求f(x)的表达式；(2)求x2011的值；(3)若且，求证：。

题型：解答题难度：困难来源：广东省期末题

设函数，方程x=f(x)有唯一解，其中实数a为常数，，f(x_n)=x_n+1(n∈N*)。 (1)求f(x)的表达式；
(2)求x₂₀₁₁的值；
(3)若且，求证：。

答案

解：（1）由，可化简为ax（x+2）=x，
∴，
当且仅当时，方程x=f(x)有唯一解，
从而。
（2）由，得，
∴，即，
∴数列是以为首项，为公差的等差数列，
∴，即，
，
∴，解得：，
∴，
故。
（3），
∴，
∴，
∴，
故。