(1)∵对任意x1∈[-1,3],令=2,得x2=2-x1,∴x2∈[-1,3],即对任意的x1∈[-1,3],存在唯一的x2=2-x1∈[-1,3],使得=2, 故正确答案为 是; 2 (2)证明:①对任意x1∈[10,100],令=,即=, 得x2=.∵x1∈[10,100],∴x2=∈[10,100]. 即对任意x1∈[10,100],存在唯一的x2=∈[10,100],使得=. ∴g(x)=lgx为“和谐函数”,其“和谐数”为. 参照上述证明过程证明:函数h(x)=2x,x∈(1,3)为“和谐函数”,5是其“和谐数”; ②对任意x1∈(1,3),令=5,即=5,得2x2=10-2x1,x2=log2(10-2x1).∵x1∈(1,3),∴10-2x1∈(2,8),x2=log2(10-2x1)∈(1,3). 即对任意x1∈(1,3),存在唯一的x2=log2(10-2x1)∈(1,3),使得=5. ∴h(x)=2x,x∈(1,3)为“和谐函数”,5是其“和谐数” (3)函数u(x)=x2,x∈R不是“和谐函数”,证明如下: 对任意的常数C,①若C≤0,则对于x1=1,显然不存在x2∈R,使得==C成立, 所以C(C≤0)不是函数u(x)=x2,x∈R的和谐数; ②若C>0,则对于x1=,由==C得,x22=-2C<0, 即不存在x2∈R,使=C成立.所以C(C>0)也不是函数u(x)=x2,x∈R的和谐数. 综上所述,函数u(x)=x2,x∈R不是“和谐函数”. |