设函数f（x）=lnx，g(x)=px-px-2f(x)．（I）若g（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围；（II）求证：f（1+x）≤x（x＞-

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设函数f（x）=lnx，g(x)=px-px-2f(x)．（I）若g（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围；（II）求证：f（1+x）≤x（x＞-

题型：解答题难度：一般来源：巢湖模拟
设函数f（x）=lnx，g(x)=px-
p
x
-2f(x)．
（I）若g（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围；
（II）求证：f（1+x）≤x（x＞-1）；
（III）求证：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞ln(n+1)．
答案
（I）函数f（x）=lnx的定义域为（0，+∞）
g(x)=px-
p
x
-2lnxg′(x)=p+
p
x2
-
2
x
=
px2+p-2x
x2
（1分）
则函数f（x）的定义域也为（0，+∞）
若g′(x)≥0⇒px2+p-2x≥0⇒p≥
2x
x2+1
=
2
x+
1
x

∵x+
1
x
≥2∴
2
x+
1
x
≤1
∴p≥1（4分）
（II）令h（x）=ln（1+x）-x
h′(x)=
1
1+x
-1=
-x
1+x
（5分）
令h"（x）=0⇒x=0
举一反三
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x（-1，0）（6分）
（0，+∞）
h"（x）+-
设0＜x＜1，且有logax＜logbx＜0，则a，b的关系是（　　）
A．0＜a＜b＜1B．1＜a＜bC．0＜b＜a＜1D．1＜b＜a
已知f(x)=





log2(1-x)，(x≤0)
f(x-1)-f(x-2)(x＞0)
则f(3)的值等于______．
已知log7[log3（log2x）]=0，那么x-
1
2
=______．
已知实数x=m满足不等式log3(1-
1
x+2
)＞0，试判断方程y2-2y+m2-3=0有无实根，并给出证明．
若x0是方程式lgx+x=2的解，则x0属于区间（　　）
A．（0，1）B．（1，1.25）C．（1.25，1.75）D．（1.75，2）