设函数f(x)=lnx,g(x)=px-px-2f(x).(I)若g(x)在其定义域内为单调递增函数,求实数p的取值范围;(II)求证:f(1+x)≤x(x>-

设函数f(x)=lnx,g(x)=px-px-2f(x).(I)若g(x)在其定义域内为单调递增函数,求实数p的取值范围;(II)求证:f(1+x)≤x(x>-

题型:解答题难度:一般来源:巢湖模拟
设函数f(x)=lnx,g(x)=px-
p
x
-2f(x)

(I)若g(x)在其定义域内为单调递增函数,求实数p的取值范围;
(II)求证:f(1+x)≤x(x>-1);
(III)求证:1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
>ln(n+1)
答案
(I)函数f(x)=lnx的定义域为(0,+∞)
g(x)=px-
p
x
-2lnx
g′(x)=p+
p
x2
-
2
x
=
px2+p-2x
x2
(1分)
则函数f(x)的定义域也为(0,+∞)
g′(x)≥0⇒px2+p-2x≥0⇒p≥
2x
x2+1
=
2
x+
1
x

x+
1
x
≥2
2
x+
1
x
≤1

∴p≥1(4分)
(II)令h(x)=ln(1+x)-x
h′(x)=
1
1+x
-1=
-x
1+x
(5分)
令h"(x)=0⇒x=0
举一反三
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x(-1,0)(6分)
(0,+∞)
h"(x)+-
设0<x<1,且有logax<logbx<0,则a,b的关系是(  )
A.0<a<b<1B.1<a<bC.0<b<a<1D.1<b<a
已知f(x)=





log2(1-x),(x≤0)
f(x-1)-f(x-2)(x>0)
则f(3)
的值等于______.
已知log7[log3(log2x)]=0,那么x-
1
2
=______.
已知实数x=m满足不等式log3(1-
1
x+2
)>0
,试判断方程y2-2y+m2-3=0有无实根,并给出证明.
若x0是方程式lgx+x=2的解,则x0属于区间(  )
A.(0,1)B.(1,1.25)C.(1.25,1.75)D.(1.75,2)