解:(1)由函数f(x)是偶函数,可知f(x)=f(-x),
即,
∴,
即x=-2kx对一切x∈R恒成立,∴k=。
(2)∵函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,
即方程有且只有一个实根,
化简,得方程有且只有一个实根,
令t=2x>0,则方程有且只有一个正根,
①a=1t=,不合题意;
②△=0a=或-3,
若a=,则t=,不合题意;
若a=3,则t=。
③一个正根与一个负根,即;
综上所述,实数a的取值范围是。
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