已知函数f(x)=loga1-mxx-1(a>0,a≠1)是奇函数.(1)求m的值;(2)求f(x)的反函数f-1(x);(3)讨论f(x)的单调性,并用定义证

已知函数f(x)=loga1-mxx-1(a>0,a≠1)是奇函数.(1)求m的值;(2)求f(x)的反函数f-1(x);(3)讨论f(x)的单调性,并用定义证

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=loga
1-mx
x-1
(a>0,a≠1)
是奇函数.
(1)求m的值;
(2)求f(x)的反函数f-1(x);
(3)讨论f(x)的单调性,并用定义证明;
(4)当f(x)定义域区间为(1,a-2)时,f(x)的值域为(1,+∞),求a的值.
答案
(1)∵函数f(x)是奇函数,
f(-x)+f(x)=loga
1+mx
-x-1
+loga
1-mx
x-1
=loga
1-m2x2
1-x2
=0
,对定义域内的任意x恒成立,
1-m2x2
1-x2
=1,即(m2-1)x2=0

解得m=±1,经检验m=-1成立.
(2)由(1)可得:y=loga
x+1
x-1
,由
x+1
x-1
>0
,解得x>1或x<-1.
∴函数f(x)的定义域为{x|x>1或x<-1}.
由y=loga
x+1
x-1
,化为ay=
x+1
x-1
,解得x=
ay+1
ay-1
(y≠0),
f-1(x)=
ax+1
ax-1
(x≠0,a>0,a≠1)

(3)由(2)可知函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),
g(x)=
x+1
x-1
,任取x1x2<-1或1<x1x2

g(x1)-g(x2)=
2(x2-x1)
(x1-1)(x2-1)
>0

∴g(x1)>g(x2),
∴函数g(x)=
x+1
x-1
在(-∞,-1)或(1,+∞)上单调递减

∴当a>1时,f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递减,
当0<a<1时,f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增.
(4)∵1<x<a-2,
∴a>3,
由(3)可知f(x)在(1,a-2)上单调递减.
f(a-2)=1,即loga
a-1
a-2
=1,化简得a2-4a+1=0

解得a=2+


3
举一反三
已知f(x)是函数y=log2x的反函数,则y=f(1-x)的图象是(  )
A.B.C.D.
题型:单选题难度:一般| 查看答案
定义在R上的函数f(x)、g(x)都有反函数,又f(x-1)与g-1(x-3)的图象关于直线y=x对称,若g(5)=2009,则f(4)=(  )
A.2009B.2010C.2011D.2012
题型:单选题难度:一般| 查看答案
函数y=


x-1
+1(x≥1)
的反函数是(  )
A.y=(x-1)2+1(x∈R)B.y=(x-1)2+1(x≥1)
C.y=(x-1)2+1(x≥0)D.y=


x-1
+1(x≥1)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
函数y=3x+1(-1≤x<0)的反函数是(  )
A.y=1+log3x(x>0)B.y=-1+log3x(x>0)
C.y=1+log3x(1≤x<3)D.y=-1+log3x(1≤x<3)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
函数y=
x
x-2
(x>2)
的反函数的定义域为( (1,+∞) )
A.(1,+∞)B.(0,+∞)C.(0,1)D.(1,2)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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