已知函数f(x)=2sinx•sin(π2+x)-2sin2x+1(x∈R).(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及函数f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)若f(x02)

已知函数f(x)=2sinx•sin(π2+x)-2sin2x+1(x∈R).(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及函数f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)若f(x02)

题型:朝阳区二模难度:来源:
已知函数f(x)=2sinx•sin(
π
2
+x)-2sin2x+1
(x∈R).
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)若f(
x0
2
)=


2
3
x0∈(-
π
4
π
4
)
,求cos2x0的值.
答案
(Ⅰ) f(x)=2sinx•cosx-2sin2x+1 …(1分)
=sin2x+cos2x …(2分)
=


2
sin(2x+
π
4
)
.…(3分)
故函数f(x)的最小正周期T=
2
.…(5分)
2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
π
2
(k∈Z),…(6分)
可得 2kπ-
4
≤2x≤2kπ+
π
4

kπ-
8
≤x≤kπ+
π
8
,k∈z,
所以,函数f(x)的单调递增区间为[kπ-
8
, kπ+
π
8
]
(k∈Z).…(8分)
(Ⅱ)解法一:由已知得f(
x0
2
)=sinx0+cosx0=


2
3
,…(9分) 
 两边平方,可得 1+sin2x0=
2
9

所以,sin2x0=-
7
9
. …(11分) 
因为x0∈(-
π
4
π
4
)
,所以2x0∈(-
π
2
π
2
)

所以,cos2x0=


1-(-
7
9
)
2
=
4


2
9
.…(13分)
解法二:因为x0∈(-
π
4
π
4
)

所以x0+
π
4
∈(0,
π
2
)
.…(9分)
又因为f(
x0
2
)=


2
sin(2•
x0
2
+
π
4
)=


2
sin(x0+
π
4
)=


2
3

解得 sin(x0+
π
4
)=
1
3
.…(10分)
所以,cos(x0+
π
4
)=


1-(
1
3
)
2
=
2


2
3
.…(11分)
所以,cos2x0=sin(2x0+
π
2
)=sin[2(x0+
π
4
)]=2sin(x0+
π
4
)cos(x0+
π
4
)

=2•
1
3
2


2
3
=
4


2
9
.…(13分)
举一反三
已知函数f(x)=2sinxcosx+2


3
cos2x-


3
,x∈R

(I)化简函数f(x)的解析式,并求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)在锐角△ABC中,若f(A)=1,


AB


AC
=


2
,求△ABC的面积.
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若α为第一象限角,那么sin2α,cos2α,sin
α
2
,cos
α
2
中必定为正值的有(  )
A.0个B.1个C.2个D.3个
题型:单选题难度:一般| 查看答案
若角α的终边与直线y=3x重合,且sinα<0,又P(m,n)是α终边上一点,且|OP|=


10
,则m-n等于(  )
A.2B.-2C.4D.-4
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知点P(sin
3
4
π,cos
3
4
π)落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为(  )
A.
π
4
B.
4
C.
4
D.
4
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知ω>0,向量


m
=(1,2cosωx),


n
=(


3
sin2ωx,-cosωx).设函数f(x)=


m


n
,且f(x)图象上相邻的两条对称轴的距离是
π
2

(Ⅰ)求数ω的值;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[
π
4
π
2
]上的最大值和最小值.
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