由倍角公式cos2x=2cos2x-1,可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式.对于cos3x,我们有cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx-
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由倍角公式cos2x=2cos2x-1,可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式. 对于cos3x,我们有 cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx-sin2xsinx =(2cos2x-1)cosx-2(sinxcosx)sinx =2cos3x-cosx-2(1-cos2x)cosx =4cos3x-3cocs. 可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式. 一般地,存在一个n次多项式Pn(t),使得cosnx=Pn(cosx),这些多项式Pn(t)称为切比雪夫(P.L.Tschebyscheff)多项式. (1)请尝试求出P4(t),即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x. (2)化简cos(60°-θ)cos(60°+θ)cosθ,并利用此结果求sin20°sin40°sin60°sin80°的值. |
答案
(1)由于cos4x=cos(2x+2x)=cos22x-sin22x =(2cos2x-1)2-(2sinxcosx)2 =4cos4x-4cos2x+1-4sin2cos2x =4cos4x-4cos2x+1-4(1-cos2x)cos2x =8cos4x-8cos2x+1(3分) (2)cos(60°-θ)cos(60°+θ)cosθ=(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)cosθ =(cos2θ-sin2θ)cosθ=(4cos2θ-3)cosθ=cos3θ(7分) ∵sin20°sin40°sin60°sin80°=cos70°cos50°cos30°cos10° =cos10°cos(60°-10°)cos(60°+10°)=×cos30°= |
举一反三
已知函数f(x)=2cos2x+2sinxcosx-. (1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)的递增区间;(3)当x∈[-, ]时,求f(x)的值域. |
已知函数f(x)=4sin2 • sinx+(cosx+sinx)(cosx-sinx). (1)化简f(x); (2)已知常数ω>0,若函数y=f(ωx)在区间[-, ]上是增函数,求ω的取值范围; (3)若方程f(x)(sinx-1)+a=0有解,求实数a的取值范围. |
已知cosα=,cos(α-β)=,且0<β<α< (Ⅰ) 求cos(π+2α)tan(π-2α)sin(-2α) | cos(+2α) | 的值; (Ⅱ)求cosβ及角β的值. |
(文科)已知函数f(x)=3-4asinxcosx+4cos2x-4cos4x.若a=1,求函数f(x)的最大值与最小值. |
△ABC中,如果lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2,则△ABC的形状是( )A.等边三角形 | B.直角三角形 | C.等腰三角形 | D.等腰直角三角形 |
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