设函数f(x)=acos2ωx+3acosωxsinωx+b(0<ω<2,a≠0),x=π6是其函数图象的一条对称轴.(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)若f(x)的定义域为
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设函数f(x)=acos2ωx+3acosωxsinωx+b(0<ω<2,a≠0),x=π6是其函数图象的一条对称轴.(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)若f(x)的定义域为
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设函数
f(x)=aco
s
2
ωx+
3
acosωxsinωx+b(0<ω<2,a≠0)
,
x=
π
6
是其函数图象的一条对称轴.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)若f(x)的定义域为
[-
π
3
,
π
3
]
,值域为[-1,5],求a,b的值.
答案
(Ⅰ)∵函数
f(x)=aco
s
2
ωx+
3
acosωxsinωx+b(0<ω<2,a≠0)
=
a
2
+
a
2
cos(2ωx)+
3
2
asin(2ωx)=b+
a
2
+acos(2ωx-
π
3
),
再由
x=
π
6
是其函数图象的一条对称轴,可得 2ω•
π
6
-
π
3
=kπ,k∈z,ω=3k+1,
∴ω=1.
(Ⅱ)由(1)可得 f(x)=b+
a
2
+acos(2x-
π
3
),再根据x∈
[-
π
3
,
π
3
]
,可得 2x-
π
3
∈[-π,
π
3
],故cos(2x-
π
3
)∈[-1,1].
再由函数f(x)的值域为[-1,5],可得 ①
a>0
b+
a
2
=5
b-
a
2
=-1
,或②
a<0
b+
a
2
=-1
b-
a
2
=5
.
由①可得
a=6
b=2
,解②可得
a=-6
b=2
.
综上可得
a=6
b=2
,或
a=-6
b=2
.
举一反三
已知函数
f(x)=sin
x
2
sin(
π
2
+
x
2
)
(1)求函数f(x)在[-π,0]上的单调区间;
(2)已知角α满足
α∈(0,
π
2
)
,
2f(2α)+4f(
π
2
-2α)=1
,求f(α)的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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在锐角△ABC中,已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c.向量
m
=(2sin(A+C),
3
)
,
n
=(cos2B,2co
s
2
B
2
-1)
,且向量
m
、
n
共线.
(1)求角B的大小;
(2)如果b=1,求△ABC的面积V
△ABC
的最大值.
题型:解答题
难度:一般
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△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量
m
=(2sinB,-
3
),
n
=(cos2B,2cos
2
B
2
-1)且
m
∥
n
.
(Ⅰ)求锐角B的大小;
(Ⅱ)如果b=2,求△ABC的面积S
△ABC
的最大值.
题型:解答题
难度:一般
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已知函数
f(x)=(
3
sinωx+cosωx)cosωx-
1
2
.(ω>0)
的最小正周期为4π.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数f(A)的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
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已知函数f(x)=sinxcosx-
1
2
cos2x.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求f(x)函数图象的对称轴方程;
(Ⅲ)求f(x)的单调增区间.
题型:解答题
难度:一般
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