已知数列的前项和为,且 (N*),其中.(Ⅰ) 求的通项公式;(Ⅱ) 设 (N*).①证明: ;② 求证:.

已知数列的前项和为,且 (N*),其中.(Ⅰ) 求的通项公式;(Ⅱ) 设 (N*).①证明: ;② 求证:.

题型:不详难度:来源:
已知数列的前项和为,且 (N*),其中
(Ⅰ) 求的通项公式;
(Ⅱ) 设 (N*).
①证明:
② 求证:.
答案
(Ⅰ) .      (Ⅱ)见解析
解析
本试题主要考查了数列的通项公式的求解和运用。运用关系式,表示通项公式,然后得到第一问,第二问中利用放缩法得到,②由于
所以利用放缩法,从此得到结论。
解:(Ⅰ)当时,由. ……2分
若存在
从而有,与矛盾,所以.
从而由. ……6分
(Ⅱ)①证明:
证法一:∵
 
.…………10分
证法二:,下同证法一.          ……10分
证法三:(利用对偶式)设
.又,也即,所以,也即,又因为,所以.即
                   ………10分
证法四:(数学归纳法)①当时, ,命题成立;
②假设时,命题成立,即,
则当时,

   即

故当时,命题成立.
综上可知,对一切非零自然数,不等式②成立.          ………………10分
②由于
所以
从而.
也即
举一反三
已知等差数列项和为,且
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)令)求数列项和为
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在等差数列{an}中,已知a1=2,a2a3=13,则a4a5a6等于(  )
A.40 B.42C.43D.45

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数列的前项和记为
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)等差数列的各项为正,其前项和为,且,又成等比数列,求.
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等差数列中,若,,则前9项和等于(    )
A.66B.99C.144D.297

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是等差数列,首项,则使前n项和成立的最大自然数n是(   )
A.4025B.4024 4023 C.4023D.4022

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