设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5+a13=34,S3=9.数列{bn}的前n项和为Tn,满足Tn=1-bn.(1)求数列{an}的通项公式;(2)写出

设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5+a13=34,S3=9.数列{bn}的前n项和为Tn,满足Tn=1-bn.(1)求数列{an}的通项公式;(2)写出

题型:嘉定区一模难度:来源:
设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5+a13=34,S3=9.数列{bn}的前n项和为Tn,满足Tn=1-bn
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)写出一个正整数m,使得
1
am+9
是数列{bn}的项;
(3)设数列{cn}的通项公式为cn=
an
an+t
,问:是否存在正整数t和k(k≥3),使得c1,c2,ck成等差数列?若存在,请求出所有符合条件的有序整数对(t,k);若不存在,请说明理由.
答案
(1)设数列{an}的首项为a1,公差为d,由已知,有





2a1+16d=34
3a1+3d=9
,…(2分)
解得a1=1,d=2,…(3分)
所以{an}的通项公式为an=2n-1(n∈N*).…(4分)
(2)当n=1时,b1=T1=1-b1,所以b1=
1
2
.…(1分)
由Tn=1-bn,得Tn+1=1-bn+1,两式相减,得bn+1=bn-bn+1
bn+1=
1
2
bn
,…(2分)
所以,{bn}是首项为
1
2
,公比为
1
2
的等比数列,所以bn=(
1
2
)n
.…(3分)
1
am+9
=
1
2m+8
=
1
2(m+4)
,…(4分)
要使
1
am+9
是{bn}中的项,只要m+4=2n即可,可取m=4.…(6分)
(3)由(1)知,cn=
2n-1
2n-1+t
,…(1分)
要使c1,c2,ck成等差数列,必须2c2=c1+ck,即
6
3+t
=
1
1+t
+
2k-1
2k-1+t
,…(2分)
化简得k=3+
4
t-1
.…(3分)
因为k与t都是正整数,所以t只能取2,3,5.…(4分)
当t=2时,k=7;当t=3时,k=5;当t=5时,k=4.…(5分)
综上可知,存在符合条件的正整数t和k,所有符合条件的有序整数对(t,k)为:(2,7),(3,5),(5,4).…(6分)
举一反三
在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第25项为(  )
A.2B.6C.7D.8
题型:惠州一模难度:| 查看答案
(1)已知an是等差数列,其中a1=31,公差d=-8,则数列an前n项和的最大值为______.
(2)已知an是各项不为零的等差数列,其中a1>0,公差d<0,若S10=0,求数列an前______项和取得最大值.
题型:不详难度:| 查看答案
在等差数列an中,a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,∀n≥2,3Sn-4、2an、2-Sn-1总成等差数列.
(1)求Sn
(2)对任意k∈N*,将数列{an}的项落入区间(3k,32k)内的个数记为bk,求bk
题型:江门一模难度:| 查看答案
已知正项数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足an=


Sn
+


sn-1
(n≥2).
(Ⅰ)求证:{


Sn
}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)记数列{
1
anan+1
}的前n项和为Tn,若对任意的n∈N*,不等式4Tn<a2-a恒成立,求实数a的取值范围.
题型:浙江模拟难度:| 查看答案
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