设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知an+1=2Sn+2(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)在an与an+1(n∈N*)之间插入n个1,构成
题型:上海模拟难度:来源:
设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知an+1=2Sn+2(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)在an与an+1(n∈N*)之间插入n个1,构成如下的新数列:a1,1,a2,1,1,a3,1,1,1,a4,…,求这个数列的前2012项的和; (3)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成公差为dn的等差数列(如:在a1与a2之间插入1个数构成第一个等差数列,其公差为d1;在a2与a3之间插入2个数构成第二个等差数列,其公差为d2,…以此类推),设第n个等差数列的和是An.是否存在一个关于n的多项式g(n),使得An=g(n)dn对任意n∈N*恒成立?若存在,求出这个多项式;若不存在,请说明理由. |
答案
(1)设an=a1qn-1, 由an+1=2Sn+2,知 | a1q=2a1+2 | a1q2=2(a1+a1q)+2 |
| | , 解得, 故an=2×3n-1…(6分) (2)依题意,到an为止,新的数列共有1+2+3+…+n=项, 令=2012, 得n=≈62.9, 即到a62为止,新的数列共有1+2+3+4+…+62==1953项, 故该数列的前2012项的和为: a1+a2+…+a62+1+2+3+…+61+=+1950=362+1949. (3)依题意,dn==, An= =4(n+2)×3n-1, 要使An=g(n)dn, 则4(n+2)×3n-1=g(n)×, ∴g(n)=(n+2)×(n+1)=n2+3n+2, 即存在g(n)=n2+3n+2满足条件. |
举一反三
在如图的表格中,每格填上一个数字之后,使每一横行各数组成等差数列,每一纵列各数组成等比数列,则a+b+c的值为______. 1 | | 2 | | 0.5 | a | 1 | | | | b | | | | | c | 已知数列{an}是等差数列,若a3+a11=24,a4=3,则{an}的公差是( ) | 设Sn是等差数列{an}的前n项和.若a5+a6=8,a9+a10=24,则公差d=______,S10=______. | 已知Sn是公差为d的等差数列{an} (n∈N*)的前n项和,且S6>S7>S5,则下列四个命题:①d<0;②S11>0;③S12<0;④S13>0中为真命题的序号为( ) | 等差数列{an}中a1=2013,前n项和为Sn,-=-2,则S2013的值为______. |
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