已知数列{an}满足a1=1，且an=2an-1+2n（n≥2且n∈N*）．（1）求证：数列{an2n}是等差数列；（2）求数列{an}的通项公式．

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2且n∈N^*）．
（1）求证：数列{

an

2n

}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

答案

证明：（1）∵a_n=2a_n-1+2ⁿ，两边同时除以2ⁿ，可得

an

2n

=

an-1

2n-1

+1
∴

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，又

a1

21

=

1

2

∴数列{

an

2n

}是以

1

2

为首项，以1为公差的等差数列；
（2）由（1）可知

an

2n

=

1

2

+n-1=n-

1

2

∴an=(n-

1

2

)•2n