已知等比数列{an}的所有项均为正数,首项a1=1,且a4,3a3,a5成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列{an+1-λan}的前n项和为S

已知等比数列{an}的所有项均为正数,首项a1=1,且a4,3a3,a5成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列{an+1-λan}的前n项和为S

题型:不详难度:来源:
已知等比数列{an}的所有项均为正数,首项a1=1,且a4,3a3,a5成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{an+1-λan}的前n项和为Sn,若Sn=2n-1(n∈N*),求实数λ的值.
答案
(1)设数列{an}的公比为q>0,
由条件,q3,3q2,q4成等差数列,∴6q2=q3+q4
解得q=-3,或q=2,
∵q>0,∴取q=2.
∴数列{an}的通项公式为an=1×2n-1=2n-1
(2)记bn=an+1-λan,则bn=2n-λ•2n-1=(2-λ)2n-1
若λ=2,bn=0,Sn=0不符合条件;   
若λ≠2,则
bn+1
bn
=2
,数列{bn}为等比数列,首项为2-λ,公比为2.
此时Sn=
(2-λ)
1-2
(1-2n)=(2-λ)(2n-1)

Sn=2n-1(n∈N*)
∴λ=1.
举一反三
已知F1、F2分别是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线上的一点,若∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是(  )
A.2B.3C.4D.5
题型:不详难度:| 查看答案
lgx,lgy,lgz成等差数列是由y2=zx成立的(  )
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
题型:普陀区一模难度:| 查看答案
已知各项均为正数的数列{an}满足an+12-an+1an-2an2=0,且a3+2是a2,a4的等差中项.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an
(Ⅱ)若bn=anlog
1
2
anSn=b1+b2+…+bn
,求使Sn+n•2n+1>50成立的正整数n的最小值.
题型:丰台区一模难度:| 查看答案
数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意n∈N*,总有an,Sn,an2成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=
1
a2n
,数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn
n
n+1
题型:不详难度:| 查看答案
设数列{an}的通项公式为an=an+b(n∈N*,a>0).数列{bn}定义如下:对于正整数m,bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值.
(1)若a=2,b=-3,求b10
(2)若a=2,b=-1,求数列{bm}的前2m项和公式;  
(3)是否存在a和b,使得bm=3m+2(m∈N*)?如果存在,求a和b的取值范围;如果不存在,请说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
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