数列{an}满足a1=1,an+3=an+3,an+2≥an+2(n∈N*).(1)求a7,a5,a3,a6; (2)求数列{an}的通项公式an
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数列{an}满足a1=1,an+3=an+3,an+2≥an+2(n∈N*).(1)求a7,a5,a3,a6; (2)求数列{an}的通项公式an
题型:不详
难度:
来源:
数列{a
n
}满足a
1
=1,a
n+3
=a
n
+3,a
n+2
≥a
n
+2(n∈N
*
).
(1)求a
7
,a
5
,a
3
,a
6
;
(2)求数列{a
n
}的通项公式a
n
;
(3)求证:
1
a
1
2
+
1
a
2
2
+
1
a
3
2
+…+
1
a
n
2
<2
.
答案
(1)∵a
1
=1,a
n+3
=a
n
+3,
∴a
4
=4,a
7
=7
∵a
n+2
≥a
n
+2
∴a
3
≥3,a
5
≥a
3
+2,a
7
≥a
5
+2,
∴a
5
=5,a
3
=3,a
6
=a
3
+3=6
(2)∵a
n+3
=a
n
+3,a
n+2
≥a
n
+2(n∈N
*
)
∴a
n+3
≤a
n+2
+1(n∈N
*
)
∴a
n+1
≤a
n
+1,a
n+2
≤a
n+1
+1
∴a
n+1
+a
n+2
+a
n+3
≤a
n
+a
n+1
+a
n+2
+3,即a
n+3
≤a
n
+3
∴a
n+1
=a
n
+1,a
n+2
=a
n+1
+1,a
n+3
=a
n+2
+1
∴{a
n
}为等差数列,公差d=1.
∴a
n
=n
(3)证明:n=1时,
1
a
1
2
=1<2成立n>1时,
∵
1
a
n
2
=
1
n
2
<
1
n(n-1)
=
1
n-1
-
1
n
(n>1)
∴
1
a
1
2
+
1
a
2
2
+
1
a
3
2
+…+
1
a
n
2
<
1+(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n-1
-
1
n
)
=
2-
1
n
<2
∴
1
a
1
2
+
1
a
2
2
+
1
a
3
2
+…+
1
a
n
2
<2
举一反三
已知数列{a
n
},{b
n
}满足a
1
=2,b
1
=1,且
a
n
=
3
4
a
n-1
+
1
4
b
n-1
+1
b
n
=
1
4
a
n-1
+
3
4
b
n-1
+1
(n≥2)
(I)令c
n
=a
n
+b
n
,求数列{c
n
}的通项公式;
(II)求数列{a
n
}的通项公式及前n项和公式S
n
.
题型:辽宁
难度:
|
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在小于100的正整数中共有______个数被7整除余2,这些数的和为______.
题型:不详
难度:
|
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公差不为零的等差数列{a
n
}中,
a
1
2
+
a
7
2
=
a
3
2
+
a
9
2
,记{a
n
}前n项和为S
n
.其中S
8
=8,则{a
n
}的通项公式为a
n
=______.
题型:不详
难度:
|
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等差数列-3,-1,…,2k-1的项数是( )
A.k+3
B.k+2
C.k+1
D.k
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}是等差数列,其中a
1
=25,a
5
=17.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)求a
1
+a
3
+a
5
+…+a
19
的值.
题型:不详
难度:
|
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