(1)已知数列{cn},其中cn=2n+3n,且数列{cn+1-pcn}为等比数列,求常数p;(2)设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+

(1)已知数列{cn},其中cn=2n+3n,且数列{cn+1-pcn}为等比数列,求常数p;(2)设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+

题型:天津难度:来源:
(1)已知数列{cn},其中cn=2n+3n,且数列{cn+1-pcn}为等比数列,求常数p;
(2)设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明数列{cn}不是等比数列.
答案
(1)因为{cn+1-pcn}是等比数列,故有
(cn+1-pcn2=(cn+2-pcn+1)(cn-pcn-1),
将cn=2n+3n代入上式,得
[2n+1+3n+1-p(2n+3n)]2
=[2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1)]•[2n+3n-p(2n-1+3n-1)],
即[(2-p)2n+(3-p)3n]2
=[(2-p)2n+1+(3-p)3n+1][(2-p)2n-1+(3-p)3n-1],
整理得
1
6
(2-p)(3-p)•2n•3n=0,
解得p=2或p=3.
(2)设{an}、{bn}的公比分别为p、q,p≠q,cn=an+bn
为证{cn}不是等比数列只需证c22≠c1•c3
事实上,c22=(a1p+b1q)2=a12p2+b12q2+2a1b1pq,
c1•c3=(a1+b1)(a1p2+b1q2)=a12p2+b12q2+a1b1(p2+q2).
由于p≠q,p2+q2>2pq,又a1、b1不为零,
因此c22≠c1•c3,故{cn}不是等比数列.
举一反三
已知数列{an}中,a1=
1
2
,对一切n∈N+,点(n,2an+1-an)在直线y=x上,
(Ⅰ)令bn=an+1-an-1,求证数列{bn}是等比数列,并求通项bn
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式an
(Ⅲ)设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和,是否存在常数λ,使得数列{
SnTn
n
}
为等差数列?若存在,试求出λ若不存在,则说明理由.
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已知数列{an},a1=3,an+1=4an-3
(Ⅰ)设bn=1og2(an-1),求数列{bn}的前n项和Sn
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证:
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
n
n+1
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首项为2的等比数列{an}中,an>0(n∈N*),且a5a9=16,则a13=(  )
A.3B.4C.6D.8
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已知数列{an}的前n项和为Sn.且满足Sn=2an-1(n∈N+
(I)求证:数列{an}是等比数列;
(II)数列{bn}满足bn+1.=an+bnn∈N+.且b1=3.若不等式log2(bn-2)
3
16
n2+t
对任意n∈N+恒成立,求实数t的取值范围.
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已知Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an+n2-3n-2,n=1,2,3….
(Ⅰ)求证:数列{an-2n}为等比数列;
(Ⅱ)设bn=an•cosnπ,求数列{bn}的前n项和Pn
(Ⅲ)设cn=
1
an-n
,数列{cn}的前n项和为Tn,求证:Tn
37
44
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