已知各项均为正数的数列{a}满足a=2a+aa,且a+a=2a+4,其中n∈N.(Ⅰ)若b=,求数列{b}的通项公式;(Ⅱ)证明:++…+>(n≥2).
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已知各项均为正数的数列{a}满足a=2a+aa,且a+a=2a+4,其中n∈N.(Ⅰ)若b=,求数列{b}的通项公式;(Ⅱ)证明:++…+>(n≥2).
题型:不详
难度:
来源:
已知各项均为正数的数列{a
}满足a
=2a
+a
a
,且a
+a
=2a
+4,其中n∈N
.
(Ⅰ)若b
=
,求数列{b
}的通项公式;
(Ⅱ)证明:
+
+…+
>
(n≥2).
答案
(1)b
=
(n∈N
)
(2)构造函数借助于函数的最值来证明不等式。
解析
试题分析:解:(Ⅰ)因为a
=2a
+a
a
,即(a
+a
)(2a
-a
)=0. 1分
又a
>0,所以有2a
-a
=0,即2a
=a
所以数列
是公比为2的等比数列, 3分
由
得
,解得
。
从而,数列{a
}的通项公式为a
=2
(n∈N
),即:b
=
(n∈N
). 5分
(Ⅱ)构造函数f(x)=
-
(b
-x)(x>0),
则f′(x)=
-
+
=
,
当0<x<b
时,f′(x)>0,x>b
时,f′(x)<0,
所以f(x)的最大值是f(b
)=
,所以f(x)≤
. 7分
即
≥
-
(b
-x)(x>0,i=1,2,3…n),取“=”的条件是x=b
(i=1,2,3…n),
所以
+
+…+
>
-
(b
+b
+…+b
-nx), 9分
令x=
,则
+
+…+
>
,
所以
+
+…+
>
, 11分
即
+
+…+
>
(n≥2). 12分
点评:解决的关键是能利用等比数列来求解通项公式,同时能结合导数来拍脑袋函数单调性,以及求解函数的最值,同时证明不等式,属于中档题。
举一反三
设数列
的前n项和为
,令
,称
为数列
,
, ,
的“理想数”,已知数列
,
, ,
的“理想数”为2004,那么数列2,
,
, ,
的“理想数”为
A.2008
B.2004
C.2002
D.2000
题型:不详
难度:
|
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若数列{
},(n∈N
)是等差数列,则有数列b
=
(n∈N
)也是等差数列,类比上述性质,相应地:若数列{c
}是等比数列,且c
>0(n∈N
),则有d
=_____________________(n∈N
)也是等比数列。
题型:不详
难度:
|
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如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,已知第
行有
个数,两端的数均为
,并且相邻两行数之间有一定的关系,则第8行第4个数为________
题型:不详
难度:
|
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已知数列
满足:
,定义使
为整数的
叫做希望数,则区间[1,2013] 内所有希望数的和M=( )
A.2026
B.2036
C.32046
D.2048
题型:不详
难度:
|
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已知数列
中,
前
项和为
,且点
在一次函数
的图象上,则
=( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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