设数列满足a1=2,an+1-an=3•22n-1(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=nan,求数列的前n项和Sn.
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设数列满足a1=2,an+1-an=3•22n-1 (1)求数列{an}的通项公式; (2)令bn=nan,求数列的前n项和Sn. |
答案
(Ⅰ)由已知,当n≥1时,an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1 =3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1. 而a1=2, 所以数列{an}的通项公式为an=22n-1. (Ⅱ)由bn=nan=n•22n-1知Sn=1•2+2•23+3•25+…+n•22n-1① 从而22Sn=1•23+2•25+…+n•22n+1② ①-②得(1-22)•Sn=2+23+25+…+22n-1-n•22n+1. 即Sn=[(3n-1)22n+1+2]. |
举一反三
对数列{an},规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列,其中△an=an+1-an(n∈N*).对正整数k,规定 {△kan}为{an}的k阶差分数列,其中△kan=△k-1an+1-△k-1an=△(△k-1an). (Ⅰ)若数列{an}的首项a1=1,且满足△2an-△an+1+an=-2n,求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)对(Ⅰ)中的数列{an},若数列{bn}是等差数列,使得b1Cn1+b2Cn2+b3Cn3+…+bn-1Cnn-1+bnCnn=an对一切正整数n∈N*都成立,求bn; (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,令cn=(2n-1)bn,设Tn=+++…+,若Tn<m成立,求最小正整数m的值. |
等差数列{an} 中,a1=3,前n项和为Sn,等比数列 {bn}各项均为正数,b1=1,且b2+S2=12,{bn}的公比q=. (1)求an与bn; (2)求数列{}的前n项和. |
设数列{an}中,若an+1=an+an+2,(n∈N*),则称数列{an}为“凸数列”. (1)设数列{an}为“凸数列”,若a1=1,a2=-2,试写出该数列的前6项,并求出该6项之和; (2)在“凸数列”{an}中,求证:an+6=an,n∈N*; (3)设a1=a,a2=b,若数列{an}为“凸数列”,求数列前n项和Sn. |
已知数列{an}为首项a1≠0,公差为d≠0的等差数列,求Sn=++…+. |
定义“和常数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项和都为同一个常数,那么这个数列叫做常数列,这个常数叫做该数列的和常.已知数列{an}是和常数列,且a1=2,和常为5,那么a18的值为______;若n为偶数,则这个数的前n项和Sn的计算公式为______. |
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