已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S5=3a5-2,又a1,a2,a5依次成等比数列,数列{bn}满足b1=-9,bn+1=bn+k2an
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已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S5=3a5-2,又a1,a2,a5依次成等比数列,数列{bn}满足b1=-9,bn+1=bn+k2an
题型:不详
难度:
来源:
已知公差不为0的等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且满足S
5
=3a
5
-2,又a
1
,a
2
,a
5
依次成等比数列,数列{b
n
}满足b
1
=-9,
b
n+1
=
b
n
+
k
2
a
n
+1
2
,(n∈N
+
)其中k为大于0的常数.
(1)求数列{a
n
},{b
n
}的通项公式;
(2)记数列a
n
+b
n
的前n项和为T
n
,若当且仅当n=3时,T
n
取得最小值,求实数k的取值范围.
答案
(1)设等差数列{a
n
}的公差为d,则S
5
=5a
1
+10d
∵S
5
=3a
5
-2=3(a
1
+4d)-2=3a
1
+12d-2
∴5a
1
+10d=3a
1
+12d-2
∴a
1
=d-1
∵a
1
,a
2
,a
5
依次成等比数列
∴a
2
2
=a
1
a
5
即(a
1
+d)
2
=a
1
(a
1
+4d)
化简得:d=2a
1
∴a
1
=1,d=2
∴a
n
=a
1
+(n-1)d=2n-1
∴
b
n+1
=
b
n
+
k
2
a
n
+1
2
=
b
n
+
k
2
n
∴
b
n+1
-
b
n
=
k
2
n
当n≥2时,
b
n
-
b
n-1
=
k
2
n-1
b
n-1
-
b
n-2
=
k
2
n-2
b
2
-
b
1
=
k
2
∴
b
n
-
b
1
=
k
2
n-1
+
k
2
n-2
+
k
2
=k×(
2
n-1
-1
2-1
×
1
2
n-1
)=k×
2
n-1
-1
2
n-1
=k-
2k
2
n-1
∴
b
n
=-9+k-
2k
2
n-1
当n=1时,b
1
=9满足上式
∴
b
n
=-9+k-
2k
2
n-1
(n∈
N
*
)
(2)∵a
n
=2n-1,
b
n
=-9+k-
k
2
n-1
(n∈
N
*
)
∴
(
a
n+1
+
b
n+1
)-(
a
n
+
b
n
)=2+
k
2
n
>0
∴数列a
n
+b
n
是递增数列
∵当n=3时,T
n
取得最小值
∴
a
3
+
b
3
=5+(k-9-
k
4
)=
3k
4
-4<0
a
4
+
b
4
=7+(k-9-
k
8
)=
7k
8
-2>0
解得
16
7
<k<
16
3
.
举一反三
已知数列{a
n
}的通项公式是a
n
=(-1)
n
(n+1),则a
1
+a
2
+a
3
+…+a
10
=( )
A.-55
B.-5
C.5
D.55
题型:东莞一模
难度:
|
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已知数列{a
n
}满足
a
1
=1
a
n
=2
a
n-1
+1,n≥2
,求{a
n
}的通项公式及其前n项和S
n
.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}中a
n
=n+1,又数列{b
n
}满足:
n
b
1
+(n-1)
b
2
+…+2
b
n-1
+
b
n
=(
9
10
)
n-1
+(
9
10
)
n-2
+…+
9
10
+1
.
(1)求b
n
的表达式;
(2)若c
n
=-a
n
•b
n
,试问数列{c
n
}中,是否存在正整数k,使得对于任意的正整数n都c
n
≤c
k
成立?证明你的结论.
题型:不详
难度:
|
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求和1
2
-2
2
+3
2
-4
2
+…+99
2
-100
2
.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}的通项公式a
n
=31-3n,求数列{|a
n
|}的前n项和H
n
.
题型:不详
难度:
|
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