已知数列{an}满足11-an+1-11-an=1,且a1=0.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=n•2nan,求数列{bn}的前n项和Sn;(3)
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已知数列{an}满足11-an+1-11-an=1,且a1=0.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=n•2nan,求数列{bn}的前n项和Sn;(3)
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}满足
1
1-
a
n+1
-
1
1-
a
n
=1
,且a
1
=0.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设b
n
=n•2
n
a
n
,求数列{b
n
}的前n项和S
n
;
(3)设c
n
=
1-
a
n+1
n
,记T
n
=
n
k=1
c
k
,证明:T
n
<1.
答案
(1)∵a
1
=0,∴
1
1-
a
1
=1
∵
1
1-
a
n+1
-
1
1-
a
n
=1
∴数列{
1
1-
a
n
}是以1为首项,1为公差的等差数列
∴
1
1-
a
n
=n,∴a
n
=
n-1
n
;
(2)b
n
=n•2
n
a
n
=(n-1)•2
n
,
∴S
n
=1•2
2
+2•2
3
+…+(n-1)•2
n
,
∴2S
n
=1•2
3
+2•2
4
+…+(n-2)•2
n
+(n-1)•2
n+1
,
两式相减可得-S
n
=1•2
2
+1•2
3
+…+1•2
n
-(n-1)•2
n+1
,
∴S
n
=4+(n-2)•2
n+1
;
(3)证明:c
n
=
1-
a
n+1
n
=
1
n
-
1
n+1
,
∴T
n
=
n
k=1
c
k
=
1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1
=
1-
1
n+1
<1,
∴T
n
<1.
举一反三
数列{a
n
}的首项为a
1
=2,且
a
n+1
=
1
2
(
a
1
+
a
2
+…+
a
n
)(n∈N)
,记S
n
为数列{a
n
}前n项和,则S
n
=______.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}是各项均不为0的等差数列,公差为d,S
n
为其前 n项和,且满足
a
2n
=
S
2n-1
,n∈N
*
.数列{b
n
}满足
b
n
=
1
a
n
•
a
n+1
,T
n
为数列{b
n
}的前n项和.
(1)求数列{a
n
}的通项公式a
n
和数列{b
n
}的前n项和T
n
;
(2)若对任意的n∈N
*
,不等式
λ
T
n
<n+8•(-1
)
n
恒成立,求实数λ的取值范围;
(3)是否存在正整数m,n(1<m<n),使得T
1
,T
m
,T
n
成等比数列?若存在,求出所有m,n的值;若不存在,请说明理由.
题型:香洲区模拟
难度:
|
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已知各项为正的数列{a
n
}中,a
1
=1,a
2
=2,log
2
a
n+1
+log
2
a
n
=n(n∈N
*
),则a
1
+a
2
+…+a
2013
-2
1008
=______.
题型:不详
难度:
|
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在数列{a
n
}中,a
1
=1,a
n+1
-a
n
=ln(1+
1
n
),则a
n
=( )
A.1+n+lnn
B.1+nlnn
C.1+(n-1)lnn
D.1+lnn
题型:宜宾一模
难度:
|
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定义数列{x
n
},如果存在常数p,使对任意正整数n,总有(x
n+1
-p)(x
n
-p)<0成立,那么我们称数列{x
n
}为“p-摆动数列”.
(1)设a
n
=2n-1,
b
n
=(-
1
2
)
n
,n∈N
*
,判断{a
n
}、{b
n
}是否为“p-摆动数列”,并说明理由;
(2)设数列{c
n
}为“p-摆动数列”,c
1
>p,求证:对任意正整数m,n∈N
*
,总有c
2n
<c
2m-1
成立;
(3)设数列{d
n
}的前n项和为S
n
,且
S
n
=(-1
)
n
•n
,试问:数列{d
n
}是否为“p-摆动数列”,若是,求出p的取值范围;若不是,说明理由.
题型:浦东新区一模
难度:
|
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