已知数列{an}是首项为a1=，公比q=的等比数列，设bn+2=3an（n∈N*），数列{cn}满足cn=an·bn。（1）求证：{bn}是等差数列；（2）求数

题型：0103 模拟题难度：来源：

已知数列{a_n}是首项为a₁=，公比q=的等比数列，设b_n+2=3a_n（n∈N*），数列{c_n}满足c_n=a_n·b_n。
（1）求证：{b_n}是等差数列；
（2）求数列{c_n}的前项和；
（3）若c_n≤m²+m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。

答案

解：（1）由题意知
∵
∴
∴数列{b_n}是首项b₁=1，公差d=3的等差数列；
（2）由（1）知
∴
∴
于是
两式相减得


∴；
（3）∵

∴当n=1时，
当时，
即
∴当n=1时，取最大值是
又对一切正整数n恒成立
∴
即得或。