设数列{an}的前n项和为Sn,并且满足an2,Sn,n成等差数列,an>0(n∈N*).(1)写出an与an-1(n≥2)的关系并求a1,a2,a3;(2)猜
题型:不详难度:来源:
设数列{an}的前n项和为Sn,并且满足an2,Sn,n成等差数列,an>0(n∈N*). (1)写出an与an-1(n≥2)的关系并求a1,a2,a3; (2)猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明; (3)设x>0,y>0,且x+y=2,求(anx+2)2+(any+2)2的最小值(用n表示). |
答案
(1)由2Sn=+n① 可知,当n≥2时,2Sn-1=+(n-1)② ①-②,得2an=-+1,即=2an+-1.(2分) ∵an>0分别令n=1,2,3,得a1=1,a2=2,a3=3.(4分) (2)猜想:an=n, 1)当n=2时,结论显然成立. 2)假设当n=k(k≥2)时,ak=k. 那么当n=k+1时,=2ak+1+-1=2ak+1+k2-1⇒[ak+1-(k+1)][ak+1+(k-1)]=0, ∵ak+1>0,k≥2, ∴ak+1+(k-1)>0, ∴ak+1=k+1. 这就是说,当n=k+1时也成立,∴an=n(n≥2).显然n=1时,也适合. 故对于n∈N*,均有an=n(9分) (3)∵x>0,y>0,且x+y=2,an=n, ∴(anx+2)2+(any+2)2=(nx+2)2+(ny+2)2≥=2(n+2)2, ∴(anx+2)2+(any+2)2的最小值为2(n+2)2.(13分) |
举一反三
若对于任意x>0,a≥恒成立,则a的取值范围是( ) |
设x,y满足x+y=20,且x,y∈R+,则lgx+lgy的最大值为( ) |
设x、y∈R+且x+y=1,则+的最小值为______. |
若2m+n-1=0(mn>0),则的最大值是______. |
已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则( )A.ab≤ | B.ab≥ | C.a2+b2≥2 | D.a2+b2≤3 |
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