已知函数f(x)=x2-(1+2a)x+aln x(a为常数).(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在x=1处切线的方程;(2)当a>0时,讨论函数y=f(x
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已知函数f(x)=x2-(1+2a)x+aln x(a为常数).(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在x=1处切线的方程;(2)当a>0时,讨论函数y=f(x
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
f
(
x
)=
x
2
-(1+2
a
)
x
+
a
ln
x
(
a
为常数).
(1)当
a
=-1时,求曲线
y
=
f
(
x
)在
x
=1处切线的方程;
(2)当
a
>0时,讨论函数
y
=
f
(
x
)在区间(0,1)上的单调性,并写出相应的单调区间.
答案
(1)
y
=2
x
.(2)①当0<
a
<
时,
f
(
x
)的单调增区间是(0,
a
)和
,单调减区间是
,②当
a
=
时,
f
(
x
)在区间(0,1)上是单调增函数.③当
<
a
<1时,
f
(
x
)的单调增区间是
和(
a,
1),单调减区间是
,④当
a
≥1时,
f
(
x
)的单调增区间是
,单调减区间是
解析
(1)当
a
=-1时,
f
(
x
)=
x
2
+
x
-ln
x
,则
f
′(
x
)=2
x
+1-
,(2分)
所以
f
(1)=2,且
f
′(1)=2.
所以曲线
y
=
f
(
x
)在
x
=1处的切线的方程为:
y
-2=2(
x
-1),
即:
y
=2
x
.(6分)
(2)由题意得
f
′(
x
)=2
x
-(1+2
a
)+
=
(
x
>0),
由
f
′(
x
)=0,得
x
1
=
,
x
2
=
a
,(8分)
①当0<
a
<
时,由
f
′(
x
)>0,又知
x
>0得0<
x
<
a
或
<
x
<1
由
f
′(
x
)<0,又知
x
>0,得
a
<
x
<
,
所以函数
f
(
x
)的单调增区间是(0,
a
)和
,单调减区间是
,(10分)
②当
a
=
时,
f
′(
x
)=
≥0,且仅当
x
=
时,
f
′(
x
)=0,
所以函数
f
(
x
)在区间(0,1)上是单调增函数.(11分)
③当
<
a
<1时,由
f
′(
x
)>0,又知
x
>0得0<
x
<
或
a
<
x
<1,
由
f
′(
x
)<0,又知
x
>0,得
<
x
<
a
,
所以函数
f
(
x
)的单调增区间是
和(
a,
1),单调减区间是
,(13分)
④当
a
≥1时,由
f
′(
x
)>0,又知
x
>0得0<
x
<
,
由
f
′(
x
)<0,又知
x
>0,得
<
x
<1,
所以函数
f
(
x
)的单调增区间是
,单调减区间是
.(16分)
举一反三
设
P
为曲线
C
:
f
(
x
)=
x
2
-
x
+1上的点,曲线
C
在点
P
处的切线斜率的取值范围是[-1,3],则点
P
的纵坐标的取值范围是________.
题型:不详
难度:
|
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曲线
在点(1,1)处的切线方程为
;
题型:不详
难度:
|
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已知函数y=xlnx+1.
(1)求这个函数的导数;
(2)求这个函数的图象在点x=1处的切线方程.
题型:不详
难度:
|
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曲线y=
在点(-1,-1)处的切线方程为________.
题型:不详
难度:
|
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设函数
的图象上的点
处的切线的斜率为k,若
,则函数
的图象大致为( )
题型:不详
难度:
|
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