(本小题满分16分)设函数f(x)=x4+bx2+cx+d,当x=t1时,f(x)有极小值.(1)若b=-6时,函数f(x)有极大值,求实数c的取值范围;(2)
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(本小题满分16分)设函数f(x)=x4+bx2+cx+d,当x=t1时,f(x)有极小值.(1)若b=-6时,函数f(x)有极大值,求实数c的取值范围;(2)
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分16分)设函数
f
(
x
)=
x
4
+
bx
2
+
cx
+
d
,当
x
=
t
1
时,
f
(
x
)有极小值.
(1)若
b
=-6时,函数
f
(
x
)有极大值,求实数
c
的取值范围;
(2)在(1)的条件下,若存在实数
c
,使函数
f
(
x
)在闭区间[
m
-2,
m
+2]上单调递增,求实数
m
的取值范围;
(3)若函数
f
(
x
)只有一个极值点,且存在
t
2
∈(
t
1
,
t
1
+1),使
f
′(
t
2
)=0,证明:函数
g
(
x
)=
f
(
x
)-
x
2
+
t
1
x
在区间(
t
1
,
t
2
)内最多有一个零点.
答案
(1)-16<
c
<16.(2)-2<
m
<0,或
m
>4.(3)同解析
解析
(1)因为
f
(
x
)=
x
4
+
bx
2
+
cx
+
d
,
所以
h
(
x
)=
f
′(
x
)=
x
3
-12
x
+
c
.……2分
由题设,方程
h
(
x
)=0有三个互异的实根.
考察函数
h
(
x
)=
x
3
-12
x
+
c
,则
h
′(
x
)=0,得
x
=±2.
x
(-∞,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,+∞)
h
′(
x
)
+
0
-
0
+
h
(
x
)
增
c
+16 (极大值)
减
c
-16( 极小值)
增
所以
故-16<
c
<16. ………………………………………………5分
(2)存在
c
∈(-16,16),使
f
′(
x
)≥0,即
x
3
-12
x
≥-
c
, (*)
所以
x
3
-12
x
>-16,
即(
x
-2)
2
(
x
+4)>0(*)在区间[
m
-2,
m
+2]上恒成立. …………7分
所以[
m
-2,
m
+2]是不等式(*)解集的子集.
所以
或
m
-2>2,即-2<
m
<0,或
m
>4. ………………………9分
(3)由题设,可得存在
α
,
β
∈R,
使
f
′(
x
)=
x
3
+
2bx
+
c
=(
x
-
t
1
)(
x
2
+
αx
+
β
),
且
x
2
+
αx
+
β
≥0恒成立.又
f
´(
t
2
)=0,且在
x
=
t
2
两侧同号,
所以
f
´(
x
) =(
x
-
t
1
)(
x
-
t
2
)
2
.
另一方面,
g
′(
x
)=
x
3
+(2
b
-1)
x
+
t
1
+
c
=
x
3
+2
bx
+
c
-(
x
-
t
1
)=(
x
-
t
1
)[(
x
-
t
2
)
2
-1].
因为
t
1
<
x
<
t
2
,且
t
2
-
t
1
<1,所以-1<
t
1
-
t
2
<
x
-
t
2
<0.所以 0<(
x
-
t
2
)
2
<1,
所以(
x
-
t
2
)
2
-1<0.
而
x
-
t
1
>0,所以
g
′(
x
)<0,所以
g
(
x
)在(
t
1
,
t
2
)内单调减.
从而
g
(
x
)在(
t
1
,
t
2
)内最多有一个零点.…………………………………16分
举一反三
已知函数
的图象与直线
的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,则
的单调递增区间是
题型:不详
难度:
|
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函数
的导函数
的图像如图所示,则
的解析式可能是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)
已知:
(1)设
的一个极值点。求
在区间
上的最大值和最小值;
(2)若
在区间
上不是单调函数,求
的取值范围。
题型:不详
难度:
|
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下列求导正确的是
D
A.
B.
C.
D.
学
题型:不详
难度:
|
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(本题满分10分)
已知函数
的图象在点
处的切线与直线
平行.
(Ⅰ)求函数
的解析式;
(Ⅱ)求函数
在区间
上的最小值和最大值.
题型:不详
难度:
|
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