等腰三角形的周长为,问绕这个三角形的底边旋转一周所成的几何体的体积最大时,各边长分别是多少?

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等腰三角形的周长为,问绕这个三角形的底边旋转一周所成的几何体的体积最大时,各边长分别是多少?
答案
当腰长为时,底边长为时,所求旋转体的体积最大。
解析
设等腰三角形腰长为,则底边长为,绕三角形的底边转一围所成的几何体是两个相等圆锥的组合体,圆锥的高为,底面半径,则圆锥体的体积为,所求组合体的体积为,∴。令,这是定义域内的唯一的极值点,因此当腰长为时,底边长为时,所求旋转体的体积最大。

举一反三
定义为函数的边际函数,某企业每月最多生产台报警器,已知每生产台的收入函数为(单位:元),其成本函数为(单位:元),利润是收入与成本的差。(1)求利润函数及其边际函数;(2)利润函数及其边际函数是否有相等的最大值?请说明理由。
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在边长为的矩形板的四个角上截去四个相同的小正方形,作成一个无盖的盒子,求盒子容积的最大值。
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如图所示,某农场要建个相同的矩形鱼池,每个面积为,鱼池前面要留宽的运料通道,其余各边为宽的堤埂,问:每个鱼池的长宽各多少米时,占地面积最少。
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某车间要在靠墙处盖一间长方形小屋,现有存砖足够砌长的墙壁,问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大?
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要设计一个容积为的圆柱形水池,已知底的单位面积造价是侧面单位造价的一半,问:如何设计水池的底半径和高,才能使总造价最省?
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