已知函数y=f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R)(Ⅰ)若函数y=f(x)的图象切x轴于点(2,0),求a、b的值;(Ⅱ)设函数y=f(x) (x∈(0,1

已知函数y=f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R)(Ⅰ)若函数y=f(x)的图象切x轴于点(2,0),求a、b的值;(Ⅱ)设函数y=f(x) (x∈(0,1

题型:不详难度:来源:
已知函数y=f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R)
(Ⅰ)若函数y=f(x)的图象切x轴于点(2,0),求a、b的值;
(Ⅱ)设函数y=f(x) (x∈(0,1))的图象上任意一点的切线斜率为k,试求|k|≤1的充要条件;
(Ⅲ)若函数y=f(x)的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1,求证|a|<


3
答案
(Ⅰ)f"(x)=-3x2+2ax(1分)
由f"(2)=0得a=3,(2分)
又f(2)=0得b=-4(3分)
(Ⅱ)k=f"(x)=-3x2+2ax   x∈(0,1),
∴对任意的 x∈(0,1),|k|≤1,即)|-3x2+2ax|≤1对任意的x∈(0,1)恒成立(4分)
等价于3x-
1
x
≤2a≤
1
x
+3x
对任意的x∈(0,1)恒成立.(5分)
令g(x)=
1
x
+3x
,h(x)=3x-
1
x

1
2
h(x)max≤a≤
1
2
g(x)min,x∈(0,1)(6分)
1
x
+3x
2


3
,当且仅当x=


3
3
时“=”成立,∴g(x)min=2


3
(7分)
h(x)=3x-
1
x
在(0,1)上为增函数∴h(x)max<2(8分)
∴1≤a≤


3
(9分)
(Ⅲ)设x1,x2∈R则k=
f(x2)-f(x1
x2-x1
=-[x12+x1x2+x22-a(x1+x2)]<1(10分)
即x12+(x2-a)x1+x22-ax2+1>0,对x1∈R恒成立(11分)
∴△=(x2-a)2-4(x22-ax2+1)<0,对x2∈R恒成立
即3x22-2ax2+4(4-a2)>0对x2∈R恒成立(13分)
∴4a2-12(4-a2)<0
解得a2<3⇒|a|<


3
(14分)
举一反三
若△x趋近于0时,
(2+△x)-3-2-3
△x
趋近于定数M,则M的值为______.
题型:不详难度:| 查看答案
某质点的运动方程是S=t-(2t-1)2,则在t=1s时的瞬时速度为(  )
A.-1B.-3C.7D.13
题型:不详难度:| 查看答案
函数y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程y=2x+1,则
lim
△x→0
f(x0)-f(x0-2△x)
△x
等于(  )
A.-4B.-2C.2D.4
题型:不详难度:| 查看答案
确定抛物线方程y=x2+bx+c中的常数b和c,使得抛物线与直线y=2x在x=2处相切.
题型:不详难度:| 查看答案
曲线y=x+
1
2
lnx
的切线的倾斜角的取值范围是______.
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.