(14分)(2011•天津)已知函数f(x)=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1,x∈R,其中t∈R.(Ⅰ)当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处
试题库
首页
(14分)(2011•天津)已知函数f(x)=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1,x∈R,其中t∈R.(Ⅰ)当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处
题型:不详
难度:
来源:
(14分)(2011•天津)已知函数f(x)=4x
3
+3tx
2
﹣6t
2
x+t﹣1,x∈R,其中t∈R.
(Ⅰ)当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(Ⅱ)当t≠0时,求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)证明:对任意的t∈(0,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.
答案
(Ⅰ)y=﹣6x
(Ⅱ)(1)若t<0,则
<﹣t,∴f(x)的单调增区间是(﹣∞,
),(﹣t,+∞);f(x)的单调减区间是(
,﹣t)
(2)若t>0,则
>﹣t,∴f(x)的单调增区间是(﹣∞,﹣t),(
,+∞);f(x)的单调减区间是(﹣t,
)
(Ⅲ)见解析
解析
试题分析:(I)当t=1时,求出函数f(x),利用导数的几何意义求出x=0处的切线的斜率,利用点斜式求出切线方程;
(II)根据f"(0)=0,解得x=﹣t或x=
,讨论t的正负,在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0求出单调区间即可;
(III)根据函数的单调性分两种情况讨论,当
≥1与当0<
<1时,研究函数的单调性,然后根据区间端点的符号进行判定对任意t∈(0,2),f(x)在区间(0,1)内均存在零点从而得到结论.
解:(I)当t=1时,f(x)=4x
3
+3x
2
﹣6x,f(0)=0
f"(x)=12x
2
+6x﹣6,f"(0)=﹣6,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=﹣6x.
(II)解:f"(x)=12x
2
+6tx﹣6t
2
,f"(0)=0,解得x=﹣t或x=
∵t≠0,以下分两种情况讨论:
(1)若t<0,则
<﹣t,∴f(x)的单调增区间是(﹣∞,
),(﹣t,+∞);f(x)的单调减区间是(
,﹣t)
(2)若t>0,则
>﹣t,∴f(x)的单调增区间是(﹣∞,﹣t),(
,+∞);f(x)的单调减区间是(﹣t,
)
(III)证明:由(II)可知,当t>0时,f(x)在(0,
)内单调递减,在(
,+∞)内单调递增,以下分两种情况讨论:
(1)当
≥1,即t≥2时,f(x)在(0,1)内单调递减.
f(0)=t﹣1>0,f(1)=﹣6t
2
+4t+3≤﹣13<0
所以对于任意t∈[2,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.
(2)当0<
<1,即0<t<2时,f(x)在(0,
)内单调递减,在(
,1)内单调递增
若t∈(0,1],f(
)=
+t﹣1≤
<0,
f(1)=)=﹣6t
2
+4t+3≥﹣2t+3>0
所以f(x)在(
,1)内存在零点.
若t∈(1,2),f(
)=
+t﹣1<
+1<0,
f(0)=t﹣1>0∴f(x)在(0,
)内存在零点.
所以,对任意t∈(0,2),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.
综上,对于任意t∈(0,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.
点评:本题主要考查了导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数零点、解不等式等基础知识,考查了计算能力和分类讨论的思想.
举一反三
(12分)(2011•重庆)设f(x)=2x
3
+ax
2
+bx+1的导数为f′(x),若函数y=f′(x)的图象关于直线x=﹣
对称,且f′(1)=0
(Ⅰ)求实数a,b的值
(Ⅱ)求函数f(x)的极值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
[2014·山东济宁]已知f(x)=
x
2
+2xf′(2014)+2014lnx,则f′(2014)=( )
A.2015
B.-2015
C.2014
D.-2014
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知
,
,
,其中
。
(1)若
与
的图像在交点(2,
)处的切线互相垂直,
求
的值;
(2)若
是函数
的一个极值点,
和1是
的两个零点,
且
∈(
,求
;
(3)当
时,若
,
是
的两个极值点,当|
-
|>1时,
求证:|
-
|
题型:不详
难度:
|
查看答案
设
,若
,则
( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
查看答案
函数
是
上的可导函数,
时,
,则函数
的零点个数为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
查看答案
最新试题
湛江作为全球最大的电饭锅生产基地,电饭锅产量占世界六成以上,电饭锅总产值150亿元,总产量5000万只。关于电饭锅和电磁
已知∠ α与∠ β互余,且∠ α=40°,则∠ β的补角为( )度.
下列各句中,加点成语使用恰当的一项是( )A.有些人是语言的巨人,行动的侏儒,甚至说的和做的南辕北辙。B.读书多年,与
Switzerland refused to_________ the two world wars.A.take pa
固体物质A由下列离子中的部分离子组成:Cu2+、Ba2+、Na+、Cl-,CO32-,给固体A加水得一种无色溶液,再向溶
胚胎在母体内发育的主要场所 ( )A.子宫B.卵巢C.输卵管
【题文】(10分)设, 若,且,求的值。
短文改错。At your school, who usually makes the decision to punis
下列离子方程式书写正确的是( )A.含有a mol FeBr2的溶液中,通入a mol Cl2:2Fe2++2Br-+
产业重心是区城产业产值空间分布的重心。下图示意中国三次产业重心的经、纬度变化(不含台湾、香港、澳门的统计资料)。完成:小
热门考点
若4x2+mxy+9y2是一个完全平方式,则m=( )A.6B.12C.±6D.±12
培养热情开朗的性格,我们不能 [ ]A.每天保持一种好心情B.对老师、同学态度友好 C.与人交往主动、豁达D.与
(28 分)阅读以下资料,分析回答问题。材料一 我国西北部分区域地理相关图。材料二 2010年5月经国务院批准,N 城
(11分)阅读下列材料,回答问题。材料一 (建国初期)***感慨地说:“现在我们能造什么?能造桌子椅子,能造茶碗茶壶。…
世界上规模最大,保存最完整的宫殿建筑群是 。
发射通信卫星的常用方法是,先用火箭将卫星送入一近地椭圆轨道(近地点在地面附近,远地点在地球同步轨道处)运行,然后再适时开
All these changes will lead to____ better Yangzhou High Scho
根据体内有无脊柱,动物可分为 动物和脊椎动物两大类,后者包括鱼类、两栖类、爬行 类、
从方框中选择合适的词填空。 is what"s am her what"s his nam
北京人和山顶洞人有哪些相同之处①都在北京周口店发现②使用火并吃熟食③长相一样④都有审美观[ ]A.①②③B.②③
运用辩证思维方法
生产活动与地域联系
醛的化学性质
镁、铝及其化合物
生活方式对健康的影响
分期付款模型
写作
书写化学方程式、文字表达式
形似字的分辨
倒数
超级试练试题库
© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.