(14分)(2011•广东)设a>0,讨论函数f(x)=lnx+a(1﹣a)x2﹣2(1﹣a)x的单调性.
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(14分)(2011•广东)设a>0,讨论函数f(x)=lnx+a(1﹣a)x2﹣2(1﹣a)x的单调性.
题型:不详
难度:
来源:
(14分)(2011•广东)设a>0,讨论函数f(x)=lnx+a(1﹣a)x
2
﹣2(1﹣a)x的单调性.
答案
见解析
解析
试题分析:求出函数的定义域,求出导函数,设g(x)=2a(1﹣a)x
2
﹣2(1﹣a)x+1,x∈(0,+∞),讨论a=1,a>1与0<a<1三种情形,然后利用函数的单调性与导函数符号的关系求出单调性.
解:定义域{x|x>0}
f′(x)=
=
设g(x)=2a(1﹣a)x
2
﹣2(1﹣a)x+1,x∈(0,+∞)
①若a=1,则g(x)=1>0
∴在(0,+∞)上有f"(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上是增函数.
②若a>1则2a(1﹣a)<0,g(x)的图象开口向下,
此时△=[﹣2(1﹣a)]
2
﹣4×2a(1﹣a)×1=4(1﹣a)(1﹣3a)>0
方程2a(1﹣a)x
2
﹣2(1﹣a)x+1=0有两个不等的实根
不等的实根为x
1
=
,x
2
=
且x
1
<0<x
2
∴在(0,
)上g(x)>0,
即f"(x)>0,f(x)是增函数;
在(
,+∞)上g(x)<0,
即f"(x)<0,f(x)是减函数;
③若0<a<1则2a(1﹣a)>0,g(x)的图象开口向上,
此时△=[﹣2(1﹣a)]
2
﹣4×2a(1﹣a)×1=4(1﹣a)(1﹣3a)
可知当
≤a<1时,△≤0,故在(0,+∞)上,g(x)≥0,
即f"(x)≥0,f(x)是增函数;
当0<a<
时,△>0,方程2a(1﹣a)x
2
﹣2(1﹣a)x+1=0有两个不等的实根
不等的实根满足
>
>0
故在(0,
)和(
,+∞)上g(x)>0,
即f"(x)>0,f(x)是增函数;
在(
,
)上g(x)<0,
即f"(x)<0,f(x)是减函数.
点评:本题考查利用导函数讨论函数的单调性:导函数为正函数递增;导函数为负,函数递减,同时考查了分类讨论的数学思想方法,属于难题.
举一反三
(14分)(2011•陕西)设f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x).
(Ⅰ)求g(x)的单调区间和最小值;
(Ⅱ)讨论g(x)与
的大小关系;
(Ⅲ)求a的取值范围,使得g(a)﹣g(x)<
对任意x>0成立.
题型:不详
难度:
|
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(14分)(2011•天津)已知函数f(x)=4x
3
+3tx
2
﹣6t
2
x+t﹣1,x∈R,其中t∈R.
(Ⅰ)当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(Ⅱ)当t≠0时,求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)证明:对任意的t∈(0,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.
题型:不详
难度:
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(12分)(2011•重庆)设f(x)=2x
3
+ax
2
+bx+1的导数为f′(x),若函数y=f′(x)的图象关于直线x=﹣
对称,且f′(1)=0
(Ⅰ)求实数a,b的值
(Ⅱ)求函数f(x)的极值.
题型:不详
难度:
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[2014·山东济宁]已知f(x)=
x
2
+2xf′(2014)+2014lnx,则f′(2014)=( )
A.2015
B.-2015
C.2014
D.-2014
题型:不详
难度:
|
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已知
,
,
,其中
。
(1)若
与
的图像在交点(2,
)处的切线互相垂直,
求
的值;
(2)若
是函数
的一个极值点,
和1是
的两个零点,
且
∈(
,求
;
(3)当
时,若
,
是
的两个极值点,当|
-
|>1时,
求证:|
-
|
题型:不详
难度:
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