试题分析:(1)设 ,求导利用单调性即可得其最大值;. (2)由(1)得, ,变形即得左边的不等式: .右边不等式显然不宜直接作差,故考虑作适当的变形.为了证右边,设 .求导得 . 的符号还不能直接确定.为了确定 的符号,再设 ,求导得 ,所以 即 由此可知 即 ,从而原命题得证;(3)首先看看所证不等式与第(2)题有何联系.对照待证不等式,可将(2)题中的不等式变形为: .显然取 ,得 .右边易证如下: ;左边则应考虑做缩小变形.由于左边为 ,故将 缩为一个等差数列.因为 ,所以考虑把 缩小为 . 当 时, ,这样累加,再用等差数列的求和公式即可使问题得证. 试题解析:(1)设 ,则
, 所以 在区间 内单调递减,故 的最大值为 ; (4分) (2)由(1)得,对 ,都有 ,即 , 因为 ,所以 . (6分) 设 ,则
. 设 ,则 , 所以 在区间 内单调递增,故 即 . 所以 在区间 内单调递增,故 即 , 因为 ,所以 . 从而原命题得证. (9分) (3)由(2)得, , 令 ,得 . 所以 ; (11分) 另一方面,当 时, , 所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018025521-33786.png) 从而命题得证. (14分) |