试题分析:(1)根据是的极值点得,可得导函数值为0,即,求得.进一步讨论导函数为正、负的区间,即得解; (2)可以有两种思路,一种是注意到当,时,, 转化成证明当时,>. 研究函数当时, 取得最小值且. 证得,==. 得证. 第二种思路是:当,时,,根据,转化成. 构造函数,研究得到函数在时取唯一的极小值即最小值为.达到证明目的. 试题解析:(1),由是的极值点得, 即,所以. 2分 于是,, 由知 在上单调递增,且, 所以是的唯一零点. 4分 因此,当时,;当时,,所以,函数 在上单调递减,在上单调递增. 6分 (2)解法一:当,时,, 故只需证明当时,>. 8分 当时,函数在上单调递增, 又, 故在上有唯一实根,且. 10分 当时,;当时,, 从而当时, 取得最小值且. 由得,. 12分 故 ==. 综上,当时,. 14分 解法二:当,时,,又,所以 . 8分 取函数,,当时,,单调递减;当时,,单调递增,得函数在时取唯一的极小值即最小值为. 12分 所以,而上式三个不等号不能同时成立,故>. 14分 |