已知函数f(x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≤g′(x)+2恒成立,求
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已知函数f(x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≤g′(x)+2恒成立,求
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
f
(
x
)=
x
ln
x
,
g
(
x
)=
x
3
+
ax
2
-
x
+2.
(1)求函数
f
(
x
)的单调区间;
(2)对一切
x
∈(0,+∞),2
f
(
x
)≤
g
′(
x
)+2恒成立,求实数
a
的取值范围.
答案
(1)
(2)[-2,+∞)
解析
(1)
f
′(
x
)=ln
x
+1,令
f
′(
x
)<0,得0<
x
<
,所以
f
(
x
)的单调递减区间是
.令
f
′(
x
)>0得
x
>
,所以
f
(
x
)的单调递增区间是
.
(2)由题意得:2
x
ln
x
≤3
x
2
+2
ax
-1+2,即2
x
ln
x
≤3
x
2
+2
ax
+1,
又
x
∈(0,+∞),∴
a
≥ln
x
-
x
-
.
设
h
(
x
)=ln
x
-
x
-
.,则
h
′(
x
)=
-
+
=-
.
令
h
′(
x
)=0得
x
=1或-
(舍),
当0<
x
<1时,
h
′(
x
)>0;当
x
>1时,
h
′(
x
)<0 ,所以当
x
=1时,
h
(
x
)取得最大值,
h
(
x
)
max
=-2,所以
a
≥-2,所以
a
的取值范围是[-2,+∞).
举一反三
已知函数
,
.
(1)若
,求函数
的单调区间;
(2)若
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)设
,若对任意的两个实数
满足
,总存在
,使得
成立,证明:
.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
的图像过坐标原点
,且在点
处的切线的斜率是
.
(1)求实数
的值;
(2)求
在区间
上的最大值;
(3)对任意给定的正实数
,曲线
上是否存在两点
,使得
是以
为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边的中点在
轴上?请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
,
(
为常数),直线
与函数
、
的图象都相切,且
与函数
图象的切点的横坐标为
.
(1)求直线
的方程及
的值;
(2)若
[注:
是
的导函数],求函数
的单调递增区间;
(3)当
时,试讨论方程
的解的个数.
题型:不详
难度:
|
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函数
f
(
x
)的定义域是R,
f
(0)=2,对任意
x
∈R,
f
(
x
)+
f
′(
x
)>1,则不等式e
x
·
f
(
x
)>e
x
+1的解集为( ).
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知
x
=3是函数
f
(
x
)=
a
ln(1+
x
)+
x
2
-10
x
的一个极值点.
(1)求
a
;
(2)求函数
f
(
x
)的单调区间;
(3)若直线
y
=
b
与函数
y
=
f
(
x
)的图象有3个交点,求
b
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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