试题分析:(1)先求出函数 的定义域求出,然后将 代入函数 的解析式,求出导数 ,并利用导数求出函数 的减区间与增区间 ;(2)求出 ,并求出方程 的 ,对 的符号以及 是否在区间 内进行分类讨论,结合函数 的单调性确定函数 在 上的最小值;(3)利用分析法将不等式 等价转化为 ,然后令 ,将原不等式等价转化为 在 ,利用(1)中的结论进行证明. 试题解析:(1)函数 的定义域为 ,当 时, ,则 , 解不等式 ,得 ;解不等式 ,得 , 故函数 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 ; (2) , , 当 时, , ,此时函数 在区间 上单调递减, 函数 在 处取得最小值,即 ; 当 时,令 , 当 时,即当 , , ,此时函数 在区间 上单调递减, 函数 在 处取得最小值,即 ; 当 ,即当 时,当 , ,当 时, , 此时函数 在 处取得极小值,亦即最小值, 即 , 综上所述, ; (3)要证不等式 ,即证不等式 ,即证不等式 , 即证不等式 , 令 ,则 则 ,故原不等式等价于 , 即不等式 在 上恒成立, 由(1)知,当 时,函数 在区间 上单调递增, 即函数 在区间 上单调递增,故 , 故有 ,因此不等式 在 上恒成立,故原不等式得证, 即对任意 , . |