①中,y′=-sinx,|-sinx|=|sinx||≤1恒成立,所以y=cosx是任何闭区间上的平缓函数,故①正确; ②中,y′=2x+,当x=1时,|y′|=3>1,不满足平缓函数的定义,故②错误; ③中,f′(x)=x2-2mx-3m2, 因为f(x)是[0,]上的平缓函数,所以|x2-2mx-3m2|≤1恒成立,即-1≤x2-2mx-3m2≤1恒成立, 亦即 | x2-2mx-3m2+1≥0① | x2-2mx-3m2-1≤0② |
| | 在[0,]上恒成立, 对①式, 当m<0时,x2-2mx-3m2+1在[0,]上单调递增,最小值-3m2+1≥0,解得-≤m≤, 所以-≤m<0; 当0≤m≤时,x2-2mx-3m2+1的最小值-4m2+1≥0,解得-≤m≤, 所以0≤m≤; 当m>时,x2-2mx-3m2+1的最小值-m-3m2+1≥0,解得-≤m≤, 所以此时m∈∅; 故对①式恒成立得,-≤m≤; 对②式,结合图象, 只需当x=0,时,x2-2mx-3m2-1≤0,即,解得m∈R, 综上,实数m的取值范围是[-,],故③正确; ④中,由于y=f(x)是[a,b]上的平缓函数,所以|f′(x)|≤1恒成立, 则存在点c∈(a,b),使得f′(c)=,则||≤1, 所以|f(a)-f(b)|≤|a-b|,故④正确. |