已知函数f（x）=x+ax+b(x≠0)，其中a，b∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ

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已知函数f（x）=x+ax+b(x≠0)，其中a，b∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ

题型：不详难度：来源：
已知函数f（x）=x+
a
x
+b(x≠0)，其中a，b∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．
答案
（Ⅰ）求导函数可得f′(x)=1-
a
x2
，由导数的几何意义得f′（2）=3，即1-
a
4
=3
∴a=-8．
由切点P（2，f（2）在直线y=3x+1上可得-2+b=7，解得b=9．
∴函数f（x）的解析式为f（x）=x-
8
x
+9．
（Ⅱ）求导函数可得f′(x)=1-
a
x2
．
当a≤0时，∵x≠0，∴f′（x）＞0，这时f（x）在（-∞，0），（0，+∞）内是增函数．
当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=±


a
．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
举一反三
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x（-∞，-


a
）		-


a
(-


a
，0)		（0，


a
）


a
(


a
，+∞)
f′（x）+0--0+
f（x）↗极大值↘↘极小值↗
设函数f（x）=lnx-p（x-1），p∈R．
（1）当p=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数g（x）=xf（x）+P（2x2-x-1），对任意x≥1都有g（x）≤0成立，求P的取值范围．
已知函数f（x）=a（x-
1
x
）-21nx（a∈R）．
（Ⅰ）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是2x-y+b=0，求a，b的值
（Ⅱ）若a=
1
2
，讨论函数f（x）的单调性，并求极值．
设函数f（x）=alnx+（x-1）2，（a∈R）．
（1）若a=-4，求f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）在[
1
2
，2]上存在单调递减区间，试求实数a的取值范围；
（3）求函数f（x）的极值点．
已知函数f（x）的导数f′（x）=3x2-3ax，f（0）=b．a，b为实数，1＜a＜2．
（Ⅰ）若f（x）在区间[-1，1]上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程；
（Ⅲ）设函数F（x）=（f′（x）+6x+1）•e2x，试判断函数F（x）的极值点个数．
定义在（0，
π
2
）上的函数f（x），其导函数是f′（x），且恒有f（x）＜f′（x）•tanx成立，则（　　）
A．f（
π
6
）＞


3
f（
π
3
）		B．f（
π
6
）＜


3
f（
π
3
）		C．


3
f（
π
6
）＞f（
π
3
）		D．


3
f（
π
6
）＜f（
π
3
）