已知函数f(x)=(a-12)e2x+x.(a∈R)(Ⅰ)若f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,求实数a的取值范围;(Ⅱ)若在区间(0,+∞)上,函数f(x)

已知函数f(x)=(a-12)e2x+x.(a∈R)(Ⅰ)若f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,求实数a的取值范围;(Ⅱ)若在区间(0,+∞)上,函数f(x)

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=(a-
1
2
)e2x+x
.(a∈R)
(Ⅰ)若f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)若在区间(0,+∞)上,函数f(x)的图象恒在曲线y=2aex下方,求a的取值范围.
答案
(Ⅰ)f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,
则f"(x)=(2a-1)e2x+1≥0在区间(-∞,0)上恒成立.                          
1-2a≤
1
e2x
,而当x∈(-∞,0)时,
1
e2x
>1
,故1-2a≤1.                  
∴a≥0.                                                                
(Ⅱ)令g(x)=f(x)-2aex=(a-
1
2
)e2x-2aex+x
,定义域为R.
在区间(0,+∞)上,函数f(x)的图象恒在曲线y=2aex下方等价于g(x)<0在区间(0,+∞)上恒成立.
∵g"(x)=(2a-1)e2x-2aex+1=(ex-1)[(2a-1)ex-1],
①若a>
1
2
,令g"(x)=0,得极值点x1=0,x2=ln
1
2a-1

当x2>x1=0,即
1
2
<a<1
时,在(x2,+∞)上有g"(x)>0,此时g(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有g(x)∈(g(x2),+∞),不合题意;
当x2≤x1=0,即a≥1时,同理可知,g(x)在区间(0,+∞)上,
有g(x)∈(g(0),+∞),也不合题意;                                          
②若a≤
1
2
,则有2a-1≤0,此时在区间(0,+∞)上恒有g"(x)<0,从而g(x)在区间(0,+∞)上是减函数;
要使g(x)<0在此区间上恒成立,只须满足g(0)=-a-
1
2
≤0
⇒a≥-
1
2

由此求得a的范围是[-
1
2
1
2
]
.                                            
综合①②可知,当a∈[-
1
2
1
2
]
时,函数f(x)的图象恒在直线y=2aex下方.
举一反三
已知函数f(x)=-2a2lnx+
1
2
x2+ax
(a∈R).
(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))的切线方程;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性.
题型:延庆县一模难度:| 查看答案
已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则(  )
A.当k=1时,f(x)在x=1处取得极小值
B.当k=1时,f(x)在x=1处取得极大值
C.当k=2时,f(x)在x=1处取得极小值
D.当k=2时,f(x)在x=1处取得极大值
题型:浙江难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1.
(I)求a=


2
时,讨论f(x)的单调性

(II)若x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,求a的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=





x2+2x+a,x<0
lnx,x>0
,其中a是实数,设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的点,且x1<x2
(I)指出函数f(x)的单调区间;
(II)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2<0,求x2-x1的最小值;
(III)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.
题型:四川难度:| 查看答案
已知函数f(x)=ex-ax-1(a为实数),g(x)=lnx-x.
(1)讨论函数f(x)的单调区间;
(2)求函数g(x)的极值;
(3)证明:
ln22
22
+
ln32
32
+…+
lnn2
n2
2n2-n-1
2(n+1)
(n∈N,n≥2).
题型:不详难度:| 查看答案
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