已知f(x)=x3+bx+cx+d在(﹣∞,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数,且方程f(x)=0有三个根,它们分别为α,2,β.(1)求c的值;(2)求证
题型:山东省月考题难度:来源:
已知f(x)=x3+bx+cx+d在(﹣∞,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数,且方程f(x)=0有三个根,它们分别为α,2,β. (1)求c的值; (2)求证f(1)≥2; (3)求|α﹣β|的取值范围. |
答案
解:(1)∵f(x)在(﹣∞,0]上是增函数,在(0,2]上是减函数; ∴x=0是f"(x)=0的根, 又∵f"(x)=3x2+2bx+c, ∵f"(0)=0, ∴c=0. (2)∵f(x)=0的根为α,2,β, ∴f(2)=0,∴8+4b+d=0, 又∵f"(2)≤0, ∴12+4b≤0,∴b≤﹣3, 又d=﹣8﹣4b ∴d≥4 f(1)=1+b+d,f(2)=0 ∴d=﹣8﹣4b且b≤﹣3, ∴f(1)=1+b﹣8﹣4b=﹣7﹣3b≥2 (3)∵f(x)=0有三根α,2,β; ∴f(x)=(x﹣α)(x﹣2)(x﹣β)=x3﹣(α+β+2)● x2﹣2αβ; ∴ |β﹣α|2 =(α+β)2﹣4αβ=(b+2)2 +2d =b2 +4b+4﹣16﹣8b=b2﹣4b﹣12=(b﹣2)2﹣16 又∵b≤﹣3, ∴|β﹣α|≥3 |
举一反三
定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件: ①f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数; ②f′(x)是偶函数; ③f(x)在x=0处的切线与直线y=x+2垂直. (1)求函数y=f(x)的解析式; (2)设g(x)=4lnx﹣m,若存在x∈[1,e],使g(x)<f′(x),求实数m的取值范围. |
已知函数f(x)=x3+ax2﹣bx+1(a、b∈R)在区间[﹣1,3]上是减函数,则a+b的最小值是 |
[ ] |
A. B. C.2 D.3 |
已知函数f(x)=lnx,g(x)=x2﹣2x. (1)设h(x)=f(x+1)﹣g"(x)(其中g"(x)是g(x)的导函数),求h(x)的最大值; (2)证明:当0<b<a时,求证:f(a+b)﹣f(2b)<; (3)设k∈Z,当x>1时,不等式k(x﹣1)<xf(x)+3g"(x)+4恒成立,求k的最大值. |
若f(x)=﹣x2+2ax与g(x)= 在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是 |
[ ] |
A.(0,1) B.(0,1] C.(﹣1,0)∪(0,1) D.(﹣1,0)∪(0,1 ] |
定义域[﹣1,1]的奇函数f(x)满足f(x)=f(x﹣2),且当x∈(0,1)时,f(x)=2x+ . (1)求f(x)在[﹣1,1]上的解析式; (2)求函数f(x)的值域. |
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