设f0(x)=x•ex,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn(x)=f′n-1(x)(n∈N+).(1)请写出fn(x)的表达式(不需证
题型:不详难度:来源:
设f0(x)=x•ex,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn(x)=f′n-1(x)(n∈N+). (1)请写出fn(x)的表达式(不需证明); (2)求fn(x)的极小值; (3)设gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8,gn(x)的最大值为a,fn(x)的最小值为b,求a-b的最小值. |
答案
(1)由题意可得,f1(x)=(x+1)•ex,f2(x)=(x+2)•ex,f3(x)=(x+3)•ex,…, 猜测出fn(x)的表达式fn(x)=(x+n)•ex(n∈N*). (2)由(1)可知,fn(x)=(x+n)•ex(n∈N*), ∴f′n(x)=(x+n+1)•ex, 令f′n(x)=0,解得x=-(n+1), ∵当x>-(n+1)时,f"n(x)>0,当x<-(n+1)时,f"n(x)<0, ∴当x=-(n+1)时,fn(x)取得极小值fn(-(n+1))=-e-(n+1), 即fn(x)的极小值为yn=-e-(n+1)(n∈N*). (3)∵gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8, ∴当x=-(n+1)时,gn(x)取最大值,即a=gn(-(n+1))=(n-3)2, 又∵b=fn(-(n+1))=-e-(n+1), ∴a-b=(n-3)2+e-(n+1), 问题转化为求cn=(n-3)2+e-(n+1)的最小值. 解法1(构造函数): 令h(x)=(x-3)2+e-(x+1)(x≥0), 则h"(x)=2(x-3)-e-(x+1),又h(x)在区间[0,+∞)上单调递增, ∴h"(x)≥h"(0)=-6-e-1, 又∵h"(3)=-e-4<0,h"(4)=2-e-5>0, ∴存在x0∈(3,4)使得h"(x0)=0, 又h"(x)在区间[0,+∞)上单调递增, ∴0≤x<x0时,h"(x0)<0,当x>x0时,h"(x0)>0, 即h(x)在区间[x0,+∞)上单调递增,在区间[0,x0)上单调递减, ∴(h(x))min=h(x0). 又∵h(3)=e-4,h(4)=1+e-5,则h(4)>h(3), ∴当n=3时,a-b取得最小值e-4′. 解法2(利用数列的单调性): ∵cn+1-cn=2n-5+-, ∴当n≥3时,2n-5≥1,>0,<1, ∴2n-5+->0, ∴cn+1>cn. ∵c1=4+,c2=1+,c3=,c1>c2>c3, ∴当n=3时,a-b取得最小值e-4. |
举一反三
已知函数f(x)=x++b(x≠0),其中a,b∈R,若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=3x+1,求函数f(x)的解析式. |
已知函数f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图象都过点p(2,0),且在点p处有相同的切线. (1)求实数a,b,c (2)设函数F(x)=f(x)+g(x),求F(x)在[2,m]上的最小值. |
若函数y=-x2+1(0<x<2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α,则α的最小值是( ) |
已知函数f(x)=x3-3x,若过点A(0,16)且与曲线y=f(x)相切的切线方程为y=ax+16,则实数a的值是( ) |
已知函数f(x)=x3-3x, (1)求函数f(x)在[-3,]上的最大值和最小值. (2)求曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程. |
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