已知函数f（x）=lnx，g（x）=12x2+mx+72（m＜0），直线l与函数f（x）、g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象的切点的横坐标为1．（Ⅰ）

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

1

2

x²+mx+

7

2

（m＜0），直线l与函数f（x）、g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象的切点的横坐标为1．
（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；
（Ⅲ）当0＜b＜a时，比较：a+2af（a+b）与b+2af（2a）的大小．

答案

（Ⅰ）∵直线l与函数f（x）的图象相切，且切点的横坐标为1．
∴切点坐标为P（1，ln1），即P（1，0）
求得f′（x）=

1

x

，所以切线斜率为k=f′（1）=1
∴直线l的方程为y=x-1
又∵直线l与函数y=g（x）的图象相切，设切点为Q（x₀，x₀-1）
∴

x0-1= 1 2 x0 2+mx0+ 7 2    g/(x0) =x0+m=1

⇒m=-2或4
∵m＜0∴x₀=-2
故所求直线方程为y=x-1，m的值是-2
（Ⅱ）由（I）得g′（x）=x-2
∴h（x）=f（x+1）-g′（x）=ln（x+1）-x+2
求导：h′（x）=

1

x+1

-1=

-x

x+1

 （x＞-1）
当x∈（-1，0）时，h′（x）＞0，函数h（x）是增函数；
当x∈（0，+∞）时，h′（x）＜0，函数h（x）是减函数
∴函数h（x）在x=0时有极大值，并且这个极大值是最大值
故函数h（x）的最大值为h（0）=2；
（Ⅲ）为了比较：a+2af（a+b）与b+2af（2a）的大小，进行作差：
[a+2af（a+b）]-[b+2af（2a）]=a-b+2a[f（a+b）-f（2a）]=a-b+2aln（

a+b

2a

）
∵0＜b＜a
∴设a-b=t，（t＞0），得a=b+t
可得a-b+2aln（

a+b

2a

）=t+2（b+t）ln[1-

t

2(b+t)

]
再记-

t

2(b+t)

=s，（-1＜s＜0），
F（s）=ln（1+s）-s⇒F′（s）=

-s

1+s

＞0
∴F（s）在（-1，0）是增函数，F（s）＜F（0）=0
∴t+2（b+t）ln[1-

t

2(b+t)

]＜t+2（b+t）•(-

t

2(b+t)

)=t-t=0
即a-b+2aln（

a+b

2a

）＜0
∴a+2af（a+b）＜b+2af（2a）