已知函数f(x)=ex-mx(1)当m=1时,求函数f(x)的最小值;(2)若函数g(x)=f(x)-lnx+x2存在两个零点,求m的取值范围;(3)证明:(1
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已知函数f(x)=ex-mx(1)当m=1时,求函数f(x)的最小值;(2)若函数g(x)=f(x)-lnx+x2存在两个零点,求m的取值范围;(3)证明:(1
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=e
x
-mx
(1)当m=1时,求函数f(x)的最小值;
(2)若函数g(x)=f(x)-lnx+x
2
存在两个零点,求m的取值范围;
(3)证明:
(
1
n
)
n
+(
2
n
)
n
+(
3
n
)
n
+…+(
n
n
)
n
<
e
e-1
.
答案
(1)当m=1时,f(x)=e
x
-x,
∴f′(x)=e
x
-1,
当x<0时,f′(x)<0,
当x>0时,f′(x)>0,
∴f(x)
min
=f(x)=1.
(2)由g(x)=f(x)-lnx+x
2
=0,
得m=
e
x
-lnx+
x
2
x
,
令h(x)=
e
x
-lnx+
x
2
x
,
则h′(x)=
(x-1)e
x
+lnx+
x
2
-1
x
2
,
观察得x=1时,h′(x)=0.
当x>1时,h′(x)>0,
当0<x<1时,h′(x)<0,
∴h(x)
min
=h(1)=e+1,
∴函数g(x)=f(x)-lnx+x
2
存在两个零点时m的取值范围是(e+1,+∞).
(3)由(1)知e
x
-x≥1,∴e
x
≥x+1,令x=1=
k
n
,则x=
k
n
-1
,
∴e
k
n
-1
≥
k
n
,∴e
k-n
≥(
k
n
)
n
∴
(
1
n
)
n
+
(
2
n
)
n
+
(
3
n
)
n
+…+
(
n
n
)
n
≤e
1-n
+e
2-n
+…+1=
1-(
1
e
)
n
1-
1
e
<
e
e-1
所以
(
1
n
)
n
+(
2
n
)
n
+(
3
n
)
n
+…+(
n
n
)
n
<
e
e-1
. (14分)
举一反三
设定义在区间[-1,1]上的偶函数f(x)与函数g(x)的图象关于直线x=1对称,且当x∈[2,3]时,g(x)=
a
3
(x-2)-4(x-2
)
3
(0<a<36),求f(x)的最大值与最小值.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=x
3
-3x,求函数f(x)在
[-3,
3
2
]
上的最大值和最小值.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=
4
x
+k•
2
x
+1
4
x
+
2
x
+1
(1)若对于任意的x∈R,f(x)>0恒成立,求实数k的取值范围;
(2)若f(x)的最小值为-3,求实数k的取值范围;
(3)若对于任意的x
1
、x
2
、x
3
,均存在以f(x
1
)、f(x
2
)、f(x
3
)为三边长的三角形,求实数k的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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若函数f(x)=
lnx
x
的图象恰与直线y=b有两个公共点,则实数b的取值范围是( )
A.(0,
1
e
)
B.(-∞,
1
e
)
C.(0,e)
D.(e,+∞)
题型:不详
难度:
|
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函数f(x)=x
3
-3x+1在闭区间[-3,0]上的最大值为______;最小值为______.
题型:不详
难度:
|
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