已知函数f(x)=2ex-x(1)求f(x)在区间[-1,m](m>-1)上的最小值;(2)求证:对m>ln12,x>ln2时,恒有2ex-12x2-2>(1+

已知函数f(x)=2ex-x(1)求f(x)在区间[-1,m](m>-1)上的最小值;(2)求证:对m>ln12,x>ln2时,恒有2ex-12x2-2>(1+

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=2ex-x
(1)求f(x)在区间[-1,m](m>-1)上的最小值;
(2)求证:对m>ln
1
2
,x>ln2
时,恒有2ex-
1
2
x2-2>(1+ln2)x
答案
解(1)当f"(x)=2ex-1=0,
解得x=ln
1
2

m≤ln
1
2
时,f"(x)<0,f(x)在[-1,m]上单调减,
则f(x)的最小值为f(m)=2em-m
m>ln
1
2
时,(-1,ln
1
2
)
上递减,(ln
1
2
,+∞)
上递增,
则f(x)的最小值为f(ln
1
2
)=1-ln
1
2

(2)g(x)=2ex-
1
2
x2-2-(1+ln2)x

g′(x)=2ex-x-1-ln2=f(x)-1-ln2
由(1)知当m>ln
1
2
时,f(x)的最小值为f(ln
1
2
)=1-ln
1
2
=1+ln2

所以当x>ln2时g′(x)>0,g(x)在(ln2,+∞)上单调递增,
所以g(x)>g(ln2)=2-
3
2
(ln2)2-ln2>0

所以2ex-
1
2
x2-2>(1+ln2)x
举一反三
已知f0(x)=x•ex,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn(x)=f′n-1(x)(n∈N*).
(Ⅰ)请写出fn(x)的表达式(不需证明);
(Ⅱ)设fn(x)的极小值点为Pn(xn,yn),求yn
(Ⅲ)设gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8,gn(x)的最大值为a,fn(x)的最小值为b,试求a-b的最小值.
题型:泉州模拟难度:| 查看答案
已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,则m的值为______.
题型:不详难度:| 查看答案
当x∈[-1,1]时,函数f(x)=
x2
ex
的值域是______.
题型:不详难度:| 查看答案
函数f(x)=|x3-3x2-t|,x∈[0,4]的最大值记为g(t),当t在实数范围内变化时g(t)最小值为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
1-x
ax
+lnx.
(I)当a=
1
2
时,求f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;
(II)若函数g(x)=f(x)-
1
4
x在[1,e]上为增函数,求正实数a的取值范围.
题型:郑州二模难度:| 查看答案
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