(Ⅰ)依题意,知f(x)的定义域为(0,+∞).(1分) 当a=b=时,f(x)=lnx-x2-x, f′(x)=-x-=.(2分) 令f′(x)=0,解得x=1. 当0<x<1时,f′(x)>,此时f(x)单调递增; 当x>1时,f′(x)<0,此时f(x)单调递减.(3分) 所以f(x)的极大值为f(1)=-,此即为最大值.(4分) (Ⅱ)F(x)=lnx+,x∈(0,3], 所以k=F′(x0)=≤,在x0∈(0,3]上恒成立,(6分) 所以a≥(-,x02+x0)max,x0∈(0,3](7分) 当x0=1时,- x02 +x0取得最大值.所以a≥.(9分) (Ⅲ)因为方程2mf(x)=x2有唯一实数解, 所以x2-2mlnx-2mx=0有唯一实数解. 设g(x)=x2-2mlnx-2mx,则g′(x)=. 令g′(x)=0,得x2-mx-m=0. 因为m>0,x>0, 所以x1=<0(舍去),x2=,(10分) 当x∈(0,x2)时,g′(x)<0,g(x)在(0,x2)单调递减, 当x∈(x2,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(x2,+∞)单调递增. 当x=x2时,g′(x2)=0g(x),g(x2)取最小值g(x2).(11分) 因为g(x)=0有唯一解,所以g(x2)=0. 则,即 | x22-2mlnx2-2mx2=0 | x22-mx2-m =0 |
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所以2mlnx2+mx2-m=0, 因为m>0,所以2lnx2+x2-1=0.(12分) 设函数h(x)=2lnx+x-1, 因为当x>0时,h(x)是增函数,所以h(x)=0至多有一解.(13分) 因为h(I)=0,所以方程的解为(X2)=1,即=1, 解得m=(14分) |