已知，函数（其中e为自然对数的底数）．  （Ⅰ）求函数f(x)在区间上的最小值；  （Ⅱ）设数列{an}的通项，Sn是前n项和，证明：．

题型：陕西省模拟题难度：来源：

已知，函数（其中e为自然对数的底数）．  
（Ⅰ）求函数f(x)在区间上的最小值；  
（Ⅱ）设数列{a_n}的通项，S_n是前n项和，证明：．

答案

（Ⅰ）解：求导函数，令其等于0，即，可得x=a
若a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]是减函数，
∴f（x）_min=f（e）= ；
0＜a＜e时，函数f（x）在区间（0，a]是减函数，[a，e]是增函数，
∴f（x）_min=f（a）=lna；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，a=1时，函数f（x）在定义域的最小值为0，
∴lnx＞1- 在[1，+∞）上成立
令x= 得  ln（k+1）-lnk＞
令k=1，2，3，…，（n-1），
可得ln2-ln1＞ ，ln3-ln2＞ ，…，lnn-ln（n-1）＞
∵数列{a_n}的通项a_n= ，S_n是前n项和，
∴叠加，可得S_n-1＜lnn（n≥2）