在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，设S为△ABC的面积，满足4S=3(a2+b2-c2)．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若1+tanAtanB=2c

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在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，设S为△ABC的面积，满足4S=3(a2+b2-c2)．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若1+tanAtanB=2c

题型：不详难度：来源：
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，设S为△ABC的面积，满足4S=


3
(a2+b2-c2)．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若1+
tanA
tanB
=
2c
b
，且


AB
•


BC
=-8，求c的值．
答案
（Ⅰ）∵根据余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC，△ABC的面积S=
1
2
absinC，
∴由4S=


3
(a2+b2-c2)得4×
1
2
absinC=2


3
abcosC，
化简得sinC=


3
cosC，可得tanC=
sinC
cosC
=


3
，
∵0＜C＜π，∴C=
π
3
；
（Ⅱ）∵1+
tanA
tanB
=
2c
b
，∴1+
sinAcosB
sinBcosA
=
cosAsinB+sinAcosB
cosAsinB
=
2c
b
，
可得
sin(A+B)
cosAsinB
=
2c
b
，即
sinC
cosAsinB
=
2c
b
．
∴由正弦定理得
sinC
cosAsinB
=
2sinC
sinB
，解得cosA=
1
2
，结合0＜A＜π，得A=
π
3
．
∵△ABC中，C=
π
3
，∴B=π-（A+B）=
π
3
，
因此，


AB
•


BC
=-


BA
•


BC
=-|


BA
|•|


BC
|cosB=-
1
2
c2
∵


AB
•


BC
=-8，
∴-
1
2
c2=-8，解之得c=4（舍负）．
举一反三
如图，在凸四边形ABCD中，C，D为定点，CD=


3
，A，B为动点，满足AB=BC=DA=1．
（Ⅰ）写出cosC与cosA的关系式；
（Ⅱ）设△BCD和△ABD的面积分别为S和T，求S2+T2的最大值．
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在锐角△ABC中，AC=4，BC=3，三角形的面积等于3


3
，则AB的长为______．
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已知f(x)=sin(2x+
π
6
)+cos(2x-
π
3
)．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及取得最大值时x的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（C）=1，c=2


3
，sinA=2sinB，求△ABC的面积．
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在△ABC中，BC=a，AC=b，a、b是方程x2-2


3
x+2=0的两个根，且A+B=120°，求△ABC的面积及AB的长．
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已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且
cosA
cosB
=-
a
b+2c
，则角A的大小为______．
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