设G为△ABC的重心，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若35aGA+21bGB+15cGC=0，则sin∠ABC______．

题型：不详难度：来源：

设G为△ABC的重心，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若35a

GA

+21b

GB+

15c

GC

=0，则sin∠ABC______．

答案

∵G为△ABC的重心，
∴

GA

+

GB

+

GC

=0，即

GC

=-

GA

-

GB

，
代入已知等式整理得：（35a-15c）

GA

+（21b-15c）

GB

=0，
∵

GA

，

GB

不共线，
∴35a-15c=0，21b-15c=0，即a=

3

7

c，b=

5

7

c，
设c=7t，则a=3t，b=5t，
根据余弦定理得：cos∠ABC=

a2+c2-b2

2ac

=

9t2+49t2-25t2

2×3t×7t

=

11

14

，
∵∠ABC为三角形的内角，
∴sin∠ABC=

1-cos2∠ABC

=

1-( 11 14 )2

=

5 3

14

．
故答案为：

5 3

14