在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acosA=bcosC+ccosB．（Ⅰ） 求A的大小；（Ⅱ） 求cosB-3sinC的取值范围．

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在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acosA=bcosC+ccosB．
（Ⅰ） 求A的大小；
（Ⅱ） 求cosB-

3

sinC的取值范围．

答案

（Ⅰ）∵△ABC中，2acosA=bcosC+ccosB，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∴2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB，
即sin2A=sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，
∴2sinAcosA-sinA=0，
∴sinA（2cosA-1）=0，而sinA≠0，
∴cosA=

1

2

，又A∈（0，π）
∴A=

π

3

…7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=

2π

3

-B，
故cosB-

3

sinC
=cosB-

3

sin（

2π

3

-B）
=cosB-

3

[sin

2π

3

cosB-cos

2π

3

sinB]
=cosB-

3

2

cosB+（-

3

2

）sinB
=-

1

2

cosB-

3

2

sinB
=-sin（B+

π

6

），
∵0＜B＜

2π

3

，
∴

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

，

1

2

＜sin（B+

π

6

）≤1，
∴-1≤-sin（B+

π

6

）＜-

1

2

．
∴cosB-

3

sinC的取值范围是[-1，-

1

2

]…14分